Question

【題目】如圖1，一根木棒AB，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，當(dāng)木棒A端沿NO向下滑動時，同時B端沿射線OM向右滑動，實踐發(fā)現(xiàn)木棒的中點P運動的路徑是一個優(yōu)美的幾何圖形，我們把這樣的點叫優(yōu)美點．如果木棒AB長為4，與地面的傾斜角∠ABO＝60°．

（1）當(dāng)木棒A端沿NO向下滑動到點O時，同時B端沿射線OM向右滑動到B′時，木棒的中點P所經(jīng)過的路徑長為多少？

（2）若點P為OB上由點O向點B運動的一運動點，連接AP．

①如圖2，設(shè)AP的中點為G，問點G是不是優(yōu)美點，如是，請求出點P運動過程中G所經(jīng)過的路徑長．

②如圖3，過點B作BR⊥AP，垂足為點R．點P運動過程中，點R是不是優(yōu)美點，如是，請求出點R所經(jīng)過的路徑長．

（3）如圖4，若點P以每秒1個單位長度由點B向點O運動，同時點Q以每秒個單位長度的速度由點A向點O運動，連接PQ，S為PQ的中點，則在PQ的運動過程中，點S經(jīng)過的路徑長為多少？（直接寫結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）π；（2）①1，②π；（3）2

【解析】

（1）由題意OP＝AB＝2，推出點P的運動軌跡是，利用弧長公式求解即可．

（2）①如圖2中，取AO，AB的中點E，F，連接EF．點G是優(yōu)美點，點P運動軌跡是△AOB的中位線EF．

②如圖3中，點R是優(yōu)美點，點R的運動軌跡是，圓心是AB的中點K，連接OK．

（3）首先證明PQ∥AB，推出PQ的中點S的運動軌跡是Rt△AOB的斜邊AB上的中線OK．

解：（1）連接OP．

在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝4，PA＝PB，

∴OP＝AB＝2，

∵OP＝PB＝2，∠ABO＝60°，

∴△OPB是等邊三角形，

∴∠POB＝60°，

由題意點P的運動路徑是，

∴點P的運動路徑的長＝＝π．

（2）①如圖2中，取AO，AB的中點E，F，連接EF．

點G是優(yōu)美點，點P運動軌跡是△AOB的中位線EF．

∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，

∴OB＝AB＝2，

∵AE＝EO，AF＝FB，

∴EF＝OB＝1，

∴點P運動過程中G所經(jīng)過的路徑長為1．

②如圖3中，點R是優(yōu)美點，

∵AR⊥BR，

∴∠ARB＝90°，

∴點R在AB為直徑的圓上，點R的運動軌跡是，圓心是AB的中點K，連接OK．

∴點R所經(jīng)過的路徑長＝＝π．

（3）

∵OA＝，OB＝2，AQ＝t，BP＝t，

∴

∴PQ∥AB，

∴PQ的中點S的運動軌跡是Rt△AOB的斜邊AB上的中線OK，

∴點S經(jīng)過的路徑長為AB＝2．