Question

【題目】探索題：(x－1)(（x＋1)＝x2－1，

(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1,

（x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1,

（x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1.

（1）觀察以上各式并猜想：

①(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝________________________；

②(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x3＋x2＋x＋1)＝ ________________________；

（2)請(qǐng)利用上面的結(jié)論計(jì)算：

①(－2）50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1

②若x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1＝0，求x2016的值.

Answer 1

【答案】（1）① ；② ；（2）① ；②1．

【解析】

（1）每一個(gè)式子的結(jié)果等于兩項(xiàng)的差，被減數(shù)的指數(shù)比第二個(gè)因式中第一項(xiàng)的指數(shù)大1，減數(shù)都為1；根據(jù)得出的規(guī)律直接寫(xiě)出答案；

（2）利用得出的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果．

解：（1）①(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝ ；

②(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x3＋x2＋x＋1)＝ ；

（2）①(－2）50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1

=÷（-2-1）

= ；

②∵x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1＝0，

∴（x-1）（x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1）= =0，

∴ ，

∴ .

故答案為：（1）① ；② ；（2）① ；②1．