Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：

①AD是∠BAC的平分線；

②∠ADC=60°；

③點(diǎn)D在AB的中垂線上；

④S△ACD：S△ACB=1：3．

其中正確的有（　　）

A. 只有①②③ B. 只有①②④ C. 只有①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據(jù)作圖過程可判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可推知∠CAD＝30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；④利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積計(jì)算公式來求兩個(gè)三角形面積之比.

①根據(jù)作圖過程可知AD是∠BAC的角平分線，①正確；②如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，∴∠3＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正確；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，③正確；④如圖，∵在直角△ACD中，∠2＝30°，∴CD＝AD，∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，S△DAC＝ACCD＝ACAD.∴S△ABC＝ACBC＝ACAD＝ACAD，∴S△DAC：S△ABC＝ACAD：ACAD＝1:3，④正確.故選D.