【題目】“一帶一路”讓中國和世界更緊密,“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示,燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度,燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQMN,且∠BAM:∠BAN=2:1.

(1)填空:∠BAN=_____°;

(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒,燈A射線才開始轉(zhuǎn)動,在燈B射線到達BQ之前,A燈轉(zhuǎn)動幾秒,兩燈的光束互相平行?

(3)如圖2,若兩燈同時轉(zhuǎn)動,在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作ACD交PQ于點D,且ACD=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中,請?zhí)骄?/span>BAC與BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?若不變,請求出其數(shù)量關系;若改變,請說明理由.

【答案】60

【解析】分析:1)根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°,BAMBAN=21即可得到∠BAN的度數(shù);

2)設A燈轉(zhuǎn)動t兩燈的光束互相平行,分兩種情況進行討論0t90,根據(jù)2t=130+t),可得 t=30;90t150,根據(jù)130+t+2t180)=180可得t=110;

3)設燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t,根據(jù)∠BAC=2t120°,BCD=120°﹣BCD=t60°,即可得出∠BACBCD=21據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關系不會變化.

詳解:(1∵∠BAM+∠BAN=180°,BAMBAN=21,∴∠BAN=180°×=60°.

故答案為:60;

2)設A燈轉(zhuǎn)動t兩燈的光束互相平行,

①當0t90如圖1

PQMN,∴∠PBD=BDA

ACBD∴∠CAM=BDA,∴∠CAM=PBD

2t=130+t),解得 t=30

②當90t150,如圖2

PQMN,∴∠PBD+∠BDA=180°.

ACBD∴∠CAN=BDA

∴∠PBD+∠CAN=180°

130+t+2t180)=180,解得 t=110

綜上所述t=30秒或110秒時,兩燈的光束互相平行

3BAC和∠BCD關系不會變化.

理由設燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t,

∵∠CAN=180°﹣2t,∴∠BAC=60°﹣(180°﹣2t)=2t120°.

又∵∠ABC=120°﹣t∴∠BCA=180°﹣ABCBAC=180°﹣t,而∠ACD=120°,∴∠BCD=120°﹣BCA=120°﹣(180°﹣t)=t60°,∴∠BACBCD=21即∠BAC=2BCD,∴∠BAC和∠BCD關系不會變化.

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(2)若點P不在∠AOB的平分線上(如圖③),我們可以過P點作PQOA,并作∠QPR=AOB,直線PR分別交OA、OB于點C、D,則可以得到OCD是以OC為底的等腰三角形.請你說明這樣作的理由.

(3)若點P不在∠AOB的平分線上,請你利用在(2)中學到的方法,在圖④中過P點作直線分別交OA、OB于點C、D,使得OCD是等腰三角形,且OD是底邊.保留畫圖的痕跡,不用寫出畫法.

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