Question

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，直線與軸的交點(diǎn)為．為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），過(guò)作軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．

（1）求的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）為直線與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)拋物線解析式為

在拋物線上，

        

二次函數(shù)解析式為：

（或）

令得：

即點(diǎn)在上

把代入得

（2）

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，由題意可得，

則

，，舍去

而，存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為．

②當(dāng)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)作垂直于拋物線的對(duì)稱軸，垂足為；

由題意可得：

        

則       

，（舍去）

而，存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為．

綜上所述存在點(diǎn)滿足條件，其坐標(biāo)為

，

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)拋物線解析式為（頂點(diǎn)式），把點(diǎn)代入解析式即可求出，根據(jù)求出點(diǎn)，由點(diǎn)和點(diǎn)求出直線即可

（2）由于，則線段的長(zhǎng)等于一次函數(shù)減去二次函數(shù)值，點(diǎn)在線段上，故

（3）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，由于字母沒有對(duì)應(yīng)，則需分情況討論：

①，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得到，注意的取值范圍，得到點(diǎn) ②，同理可得，注意的取值范圍，得到點(diǎn)