Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的內(nèi)心，以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點(diǎn)，則r的取值范圍是（ ）

A.r≥1
B.1≤r≤
C.1≤r≤
D.1≤r≤4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OA、OB，如圖所示

則四邊形OECF是正方形，

∴OF=CF=OE=CE，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∵O是△ABC的內(nèi)心，

∴CE=CF=OF=OE= （AC+BC﹣AB）=1，

∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，

∴OA= ，OB= = ，

當(dāng)r=1時(shí)，以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有唯一交點(diǎn)；

當(dāng)1＜r≤ 時(shí)，以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng) ＜r≤ 時(shí)，以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有1個(gè)交點(diǎn)；

∴以O(shè)為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點(diǎn)，則r的取值范圍是1≤r≤ ；

所以答案是：C

【考點(diǎn)精析】掌握直線與圓的三種位置關(guān)系和三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心是解答本題的根本，需要知道直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心．