【題目】問題:(1)如圖①,在RtABC中,ABACDBC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為   ;

探索:(2)如圖②,在RtABCRtADE中,ABAC,ADAE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

應(yīng)用:(3)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC45°.若BD9,CD3,求AD的長.

【答案】(1)BCDCEC;(2BD2CD22AD2;(3AD6.

【解析】

1)易證△BAD≌△CAE,即可得到BCDCEC

2)連接CE,易證△BAD≌△CAE,再得到EDAD,然后在RtECD中利用勾股定理即可求得其關(guān)系;

(3)將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接CE,BE,先證△ABE≌△ACD,再利用在RtBED中,由勾股定理,得DE2BD2BE2,故2AD2BD2CD2,再解出AD的長即可.

解:(1)BCDCEC

∵∠BAC=∠DAE90°,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.

在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE(SAS),

BDCE

BCBDCDECCD

(2)BD2CD22AD2.

證明如下:

連接CE,如解圖1所示.

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC90°ABAC,

∴∠ABC=∠ACB45°.

∵∠DAE=∠CAE+∠DAC90°,

∴∠BAD=∠CAE.

在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE(SAS),

BDCE,∠ACE=∠ABC45°,

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE90°.

∵∠EAD90°,AEAD,

EDAD

RtECD中,由勾股定理,

ED2CE2CD2,

BD2CD22AD2.

(3)將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接CE,BE

如解圖2所示,則AEAD,∠EAD90°,

∴△EAD是等腰直角三角形,

DEAD,∠AED45°.

∵∠ABC=∠ACBADC45°,

∴∠BAC90°,ABAC

(2)的方法,可證得△ABE≌△ACD

BECD,∠AEB=∠ADC45°,

∴∠BEC=∠AEB+∠AED90°.

RtBED中,由勾股定理,得DE2BD2BE2

2AD2BD2CD2.

BD9,CD3

2AD2923272,

AD6(負(fù)值已舍去)

練習(xí)冊系列答案
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1)填表:(不需化簡)

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1)求證:ABD≌△ACE;

2)求證:CE平分∠ACF;

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