Question

如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=5，弦AC=4，作OD⊥AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD并延長(zhǎng)BD交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)AE、BC．
（1）求證：BC=2DO；
（2）求BD的長(zhǎng)；
（3）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線(xiàn)定理,圓周角定理

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由于OD⊥AC，根據(jù)垂徑定理得AD=CD，則可判斷OD為△ABC的中位線(xiàn)，于是根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可得到BC=2DO；
（2）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠C=90°，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=3，然后在Rt△CDB中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出BD；
（3）根據(jù)圓周角定理得到∠E=90°，∠DAE=∠CBD，于是可判斷Rt△ADE∽R(shí)t△BDC，然后利用相似比可計(jì)算出AE．

解答：（1）證明：∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
而AO=BO，
∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，
∴BC=2DO；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
在Rt△CDB中，∵CD=

1

2

AC=2，BC=3，
∴BD=

CD2+BC2

=

13

；
（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠E=90°，
而∠DAE=∠CBD，
∴Rt△ADE∽R(shí)t△BDC，
∴

AE

BC

=

AD

BD

，即

AE

3

=

2

13

，
∴AE=

6 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理、圓周角定理和三角形中位線(xiàn)定理．