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【題目】拋物線y=ax2+bx的頂點M（，3）關于x軸的對稱點為B，點A為拋物線與x軸的一個交點，點A關于原點O的對稱點為A′；已知C為A′B的中點，P為拋物線上一動點，作CD⊥x軸，PE⊥x軸，垂足分別為D，E．

（1）求點A的坐標及拋物線的解析式；

（2）當0＜x＜2時，是否存在點P使以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x（2）存在點P（+，）或（﹣，）使得四邊形CDPE是平行四邊形

【解析】

（1）由拋物線的對稱性質求得點A的坐標，然后分別將點A、O的坐標代入函數解析式，列出關于a，b的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；

（2）假設存在點P使得以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．根據點的對稱性質可得BF=3，結合三角形中位線定理求得PE=．根據x的取值范圍確定點P應該在x軸的上方．可設點P的坐標為（x，），利用二次函數圖象上點的坐標特征進行解答．

（1）依題意得：拋物線y=ax2+bx經過頂點M（，3）和（0，0），∴點A與原點關于對稱軸x=對稱，∴A（2，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x；

（2）假設存在點P使得以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．

由頂點M（，3）關于x軸的對稱點B（，﹣3），可得：BF=3．

連接MB交x軸于F．

∵CD⊥x軸，BM⊥x軸，∴CD∥BF．

∵C為A′B的中點，∴CD是△A′BF的中位線，得PE=CD=BF=．

∵點A的坐標是（2，0），∴當0＜x＜2時，點P應該在x軸的上方．

可設點P的坐標為（x，），∴y=﹣x2+2x=，解得：x=±，滿足0＜x＜2．

綜上所述：存在點P（+）或（﹣）使得四邊形CDPE是平行四邊形．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖，直線y=ax+b（a≠0）與y軸交與點C，與雙曲線y=（m≠0）交于A、B兩點，AD⊥y軸于點D，連接BD，已知OC=AD=2，cos∠ACD=．

（1）求直線AB和雙曲線的解析式．

（2）求△ABD的面積．

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【題目】某玩具店用2000元購進一批玩具，面市后，供不應求，于是店主又購進同樣的玩具，所購的數量是第一批數量的3倍，但每件進價貴了4元，結果購進第二批玩具共用了6300元.若兩批玩具的售價都是每件120元，且兩批玩具全部售完．

（1）第一次購進了多少件玩具？

（2）求該玩具店銷售這兩批玩具共盈利多少元？

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【題目】某區(qū)為加快美麗鄉(xiāng)村建設，建設秀美幸福薛城，對A，B兩類村莊進行了全面改建.根據預算，建設一個A類美麗村莊和一個B類美麗村莊共需資金300萬元；甲鎮(zhèn)建設了2個A類村莊和5個B類村莊共投人資金1140萬元.

(1)建設一個A類美麗村莊和一個B類美麗村莊所需的資金分別是多少萬元?

(2)乙鎮(zhèn)3個A類美麗村莊和6個B類美麗村莊的改建共需資金多少萬元?

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【題目】某校詩詞知識競賽培訓活動中，在相同條件下對甲、乙兩名學生進行了10次測驗，他們的10次成績如下（單位：分）

整理，分析過程如下：

成績

學生

甲

0

1

4

5

0

0

乙

1

1

4

2

1

1

（1）兩組數據的極差、平均數、中位數、眾數、方差如下表所示，請補充完整：

學生

極差

平均數

中位數

眾數

方差

甲

83.7

86

13.21

乙

24

83.7

82

46.21

（2）若從甲、乙兩人中選擇一人參加知識競賽，你會選 （填“甲”或“乙”），理由為 ．

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【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系

（1）如圖a，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內部，如圖b，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）

（3）根據（2）的結論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．

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【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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【題目】如圖，某輪船沿正北方向航行，在點處測得燈塔在北偏西方向上，輪船以每小時海里的速度航行小時到達后，測得燈塔在北偏西方向上，問輪船到達燈塔的正東方向時，輪船距燈塔有多遠？（結果精確到海里，參考數據：，，，，）

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【題目】如圖，在□ABCD 中，E、F為對角線AC上的兩點，且AE=CF．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）如果DE=3，EF=4，DF=5，求EB、DF兩平行線之間的距離．

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