Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn).
    （1）求拋物線的解析式；
    （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍；
    （3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過(guò)Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn).問(wèn)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3,0），B（-1,0）兩點(diǎn)
    ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0
    解得a＝1    b＝4

∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)²-1∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，,1）∴直線OD的解析式為y=x
    于是設(shè)平移的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h， h），

∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+h.①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∵C（0，9），∴h²+h=9，
    解得h=. ∴ 當(dāng) ≤h<
    時(shí)，平移的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn).
    ②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
    由方程組y=（x-h）²+h,y=-2x+9.
    得 x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，∴△=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，
    解得h=4.
    此時(shí)拋物線y=（x-4）²+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為（3，3），符合題意.
    綜上：平移的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是 h=4或 ≤h<.
    （3）方法1
    將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x²，

設(shè)EF的解析式為y=kx+3（k≠0）.
    假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t），如圖，過(guò)P作GH∥x軸，分別過(guò)E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H.∵△PEF的內(nèi)心在y軸上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,
    ∴-x_E/x_F=(y_E-t)/(y_F-t)=(kx_E+3-t)/(kx_F+3-t)
    ∴2kx_E·x_F=（t-3）（x_E+x_F）
    由y=x²，y=-kx+3.得x²-kx-3=0.
    ∴x_E+x_F=k,x_E·x_F=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上.

方法2 設(shè)EF的解析式為y=kx+3（k≠0）,點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（m,m²）（n,n²）由方法1知：mn=-3.作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)R（-m,m²）,作直線FR交y軸于點(diǎn)P，由對(duì)稱性知∠EPQ=∠FPQ，∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).由F,R的坐標(biāo)，可得直線FR的解析式為y=（n-m）x+mn.當(dāng)x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0,-3），使△PEF的內(nèi)心在y軸上.