Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點D在拋物線上且橫坐標(biāo)為2．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點G在x軸上．原拋物線上一點M平移后的對應(yīng)點為點N，如果△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求點N的坐標(biāo)；

（3）若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的動點，過點B作BE⊥OP，垂足為E，點Q為y軸上的一個動點，連接QE、QD，試求QE+QD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標(biāo)為或；（3）

【解析】

（1）由拋物線與x軸兩交點設(shè)交點式，把點C代入即求得拋物線表達式；

（2）由原拋物線頂點式可知，向下平移4個單位后頂點落在x軸上，故MN＝4且MN⊥x軸．由于△AMN為等腰三角形且MN為底邊，故有x軸垂直平分MN，得到點N縱坐標(biāo)為﹣2，代入新拋物線解析式解方程即求得點N橫坐標(biāo)．

（3）作點D關(guān)于y軸的對稱點D'，根據(jù)軸對稱性質(zhì)即有QD＝QD'，易得當(dāng)點D'、Q、E在同一直線上時，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最�。�由于點E隨點P運動也是一個動點，由∠OEB＝90°且O、B是定點可得點E的運動軌跡為圓�。�故當(dāng)點E運動到點D'與圓心所連線段上時，D'E最�。�求出圓心F的坐標(biāo)，即求出D'F和半徑r，所以D'E＝D'F﹣r，所求即為QE+QD的最小值．

解：（1）拋物線與軸交于、，

設(shè)交點式為，

拋物線經(jīng)過點，

解得：，

拋物線表達式為

（2）

向下平移后新拋物線為，頂點，即拋物線向下平移4個單位

原拋物線上一點平移后的對應(yīng)點為點N，

，軸

是以為底邊的等腰三角形，且點在軸上

軸垂直平分，

的縱坐標(biāo)為

在新拋物線為上，

，

解得：，

點坐標(biāo)為或．

（3）如下圖所示，作點關(guān)于軸的對稱點點，連接，取中點，連接，

點D在拋物線上且橫坐標(biāo)為2，點為軸上的動點，

，，

當(dāng)點、、在同一直線上時，最小，

于點，為拋物線上第一象限內(nèi)的動點，

點在以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的弧上運動，

圓心，，

當(dāng)點在線段上時，最小，

的最小值為．