Question

【題目】我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱；

（2）探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）梯形、矩形、正方形；（2）答案見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任選兩個(gè)即可；

（2）等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線的長(zhǎng)．分兩種情況證明：當(dāng)BC與CE不在同一條直線上時(shí)，60°角所對(duì)的兩邊之和大于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)；當(dāng)BC與CE在同一條直線上時(shí)60°角所對(duì)的兩邊之和等于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)．

試題解析：解：（1）梯形、矩形、正方形；

（2）結(jié)論：等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線的長(zhǎng)．

已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC=BD，

且∠AOD=60度．

求證：BC+AD≥AC．

證明：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．

連接CE，BE．

故∠EDO=60°，四邊形ACED是平行四邊形．

∵AC=DE，AC=BD，∴DE=BD．

∵∠EDO=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BE=AC．

①當(dāng)BC與CE不在同一條直線上時(shí)（如圖1），

在△BCE中，有BC+CE＞BE，∴BC+AD＞AC．

②當(dāng)BC與CE在同一條直線上時(shí)（如圖2），

則BC+CE=BE．

因此BC+AD=AC

綜合①、②，得BC+AD≥AC．

即等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)．