Question

在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°，M、N分別在線段AB、AC上．
（1）填空：cosC=

3

2

．
（2）如圖1，當(dāng)AM=4，且△AMN與△ABC相似時(shí)，△AMN與△ABC的面積比為

1：9或1：27

；
（3）如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，將△AMN沿MN翻折，點(diǎn)A落在四邊形BCNM所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E，EN與射線AB交于點(diǎn)F，設(shè)MN=x，△EMN與△ABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，進(jìn)而得出AO的長，即可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B時(shí)，（如圖1）△AMN∽△ABC，②當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，（如圖2）△AMN∽△ACB分別求出即可；
（3）首先得出△AMN∽△ABC，①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，設(shè)EN與AB交于點(diǎn)F（如圖3），②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G（如圖4），分別求出即可．

解答：解：（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∵∠ABO+∠C=90°，
∴∠BAO=∠C．
又∵∠ABO=∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB=6，BC=12，
∴6：OA=OA：18，
∴OA=6

3

，
∴AC=

CO2+AO2

=

182+(6 3 )2

=12

3

，
∴cosC=

CO

AC

=

18

12 3

=

3

2

；
故答案為：

3

2

；

（2）∵cosC=

3

2

，
∴∠C=30°，
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

6 3

6

=

3

，
∴∠ABO=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=BC=12．
①∠AMN=∠B時(shí)，如圖1，△AMN∽△ABC．
∵AM=4，
∴S_△AMN：S_△ABC=AM²：AB²=4²：12²=1：9．
②當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，如圖2，△AMN∽△ACB．
∵AM=4，
∴S_△AMN：S_△ABC=AM²：AC²=4²：（12

3

）²=1：27．
故答案為：1：9或1：27；

（3）可以求得：S_△ABC=

1

2

AO•BC=

1

2

×6

3

×12=36

3

．
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴S_△AMN：S_△ABC=MN²：BC²．
∴S_△AMN：36

3

=x²：12²．
∴S_△AMN=

1

4

3

x²．
①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，設(shè)EN與AB交于點(diǎn)F（如圖3），
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠C=30°．
∴∠ANM=∠BAC．
∴AM=MN=x．
∵將△AMN沿MN折疊，
∴∠ENM=∠ANM=30°．
∴∠AFN=90°．
∴MF=

1

2

MN=

1

2

AM=

1

2

x．
∴S_△FMN：S_△AMN=MF：AM．
∴y：

1

4

3

x²=

1

2

x：x=1：2．
∴y=

1

8

3

x²（0＜x≤6）；
②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G（如圖4），
∵M(jìn)N∥BC，
∴CN：AC=BM：AB．
∴CN：12

3

=（12-x）：12，
∴CN=12

3

-

3

x．
∵△CNG∽△CBA，
∴S_△CNG：S_△ABC=CN²：BC²．
∴S_△CNG：36

3

=（12

3

-

3

x）²：12²．
∴S_△CNG=

1

4

3

（12

3

-

3

x）²．
∴S_陰=S_△ABC-S_△AMN-S_△CNG=36

3

-

1

4

3

x²-

1

4

3

（12

3

-

3

x）²．
即y=-

3

x²+18

3

x-72

3

（6＜x＜12）．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)直線EN與線段AB位置關(guān)系進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．