Question

如圖，已知⊙B的半徑r=1，PA、PO是⊙B的切線，A、O是切點．過點A作弦AC∥PO，連接CO、AO（如圖1）．
（1）問△PAO與△OAC有什么關系？證明你的結論；
（2）把整個圖形放在直角坐標系中（如圖2），使OP與x軸重合，B點在y軸上．
設P（t，0），P點在x軸的正半軸上運動時，四邊形PACO的形狀隨之變化，當這圖形滿足什么條件時，四邊形PACO是菱形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）兩三角形相似，根據(jù)平行線可得一組對應角相等，根據(jù)弦切角可得另一組對應角相等；
（2）如果PACO是菱形，那么PA=PO=OC=OA=AC，△OAC就是等邊三角形，那么可過B作等邊三角形邊上的高，通過構建的直角三角形來求t的值．

解答：解：（1）結論：兩三角形相似．
證明：∵PA是圓的切線，
∴∠PAO=∠C
∵AC∥PO
∴∠CAO=∠POA
∴△PAO∽△OCA；

（2）當四邊形PACO是菱形時，PA=PO=OC=AC=t
∵PA=OP，△PAO∽△OCA
∴OC=OA
∴△OCA是等邊三角形
過B作BH⊥AC于H，連接BC，
直角△BCH中，∠CBH=60°，BC=1，CH=

t

2

CH=BC•sin60°=

3

2

=

1

2

，
t=

3

因此當P點坐標是（

3

，0）時，四邊形PACO是菱形．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，菱形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．