【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)Px軸下方的拋物線上,過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,求PE+EF的最大值;

(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).

①當(dāng)BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí),直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);

②若BCD是銳角三角形,直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4;(2)PE+EF的最大值為;(3)①符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是(,)或(,﹣);②點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為<y<或﹣<y<

【解析】1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

(2)易得BC的解析式為y=﹣x+4,先證明ECF為等腰直角三角形,作PHy軸于H,PGy軸交BCG,如圖1,則EPG為等腰直角三角形,PE=PG,設(shè)P(t,t2﹣4t+3)(1<t<3),則G(t,﹣t+3),接著利用t表示PF、PE,所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+5t,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題;

(3)①如圖2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍;

②由于BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+(y﹣3)2+1+y2=18,解得y1=,y2=,得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(,)或(,),然后結(jié)合圖形可確定BCD是銳角三角形時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍.

1)把B(4,0),C(0,4)代入y=x2+bx+c,得

,

解得

∴拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4;

(2)B(4,0),C(0,4),根據(jù)待定系數(shù)法易得BC的解析式為y=﹣x+4,

∵直線y=x+m與直線y=x平行,

∴直線y=﹣x+4與直線y=x+m垂直,

∴∠CEF=90°,

∴△ECF為等腰直角三角形,

PHy軸于H,PGy軸交BCG,如圖1,EPG為等腰直角三角形,PE=PG,

設(shè)P(t,t2﹣5t+4)(1<t<4),則G(t,﹣t+4),

PF=PH=t,PG=﹣t+4﹣(t2﹣5t+4)=﹣t2+4t,

PE=PG=﹣t2+2t,

PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣(t﹣2+,

當(dāng)t=時(shí),PE+EF的最大值為;

(3)①如圖2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=,

設(shè)D(,y),則BC2=42+42=32,DC2=(2+(y﹣4)2,BD2=(4﹣2+y2=+y2,

當(dāng)BCD是以BC為直角邊,BD為斜邊的直角三角形時(shí),BC2+DC2=BD2,

32+(2+(y﹣4)2=+y2,解得y=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

當(dāng)BCD是以BC為直角邊,CD為斜邊的直角三角形時(shí),BC2+DB2=DC2,

32++y2=(2+(y﹣4)2,解得y=﹣1,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣);

綜上所述,符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是(,)或(,﹣);

②當(dāng)BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí),DC2+DB2=BC2,即(2+(y﹣4)2++y2=32,解得y1=,y2=,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(,)或(),

所以BCD是銳角三角形,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為<y<或﹣<y<

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