Question

如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)M（m，n）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對(duì)稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)M作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)Q，交拋物線于另一點(diǎn)E，直線BM交y軸于點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)S△MFQ：S△MEB=1：3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴，

解得，

∴y=﹣x2+x+2，

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣3x+）++2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

（2）∵M(jìn)（m，n），

∴Q（0，n），E（3﹣m，n），

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），

把B（4，0），M（m，n）代入得，

解得，

∴y=x+，

令x=0，則y=，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，），

∴MQ=|m|，F(xiàn)Q=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，

∴S△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||，

S△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|，

∵S△MFQ：S△MEB=1：3，

∴||×3=•|3﹣2m|•|n|，

即||=|3﹣2m|，

∵點(diǎn)M（m，n）在對(duì)稱軸左側(cè)，

∴m＜，

∴=3﹣2m，

整理得，m2+11m﹣12=0，

解得m1=1，m2=﹣12，

當(dāng)m1=1時(shí)，n1=﹣×12+×1+2=3，

當(dāng)m2=﹣12時(shí)，n2=﹣×（﹣12）2+×（﹣12）+2=﹣88，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣12，﹣88）．