Question

如圖，△ABC內接與⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于AC點E，交PC于點F，連接AF．

（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見試題解析; （2）

【解析】

試題分析：（1）AF為為圓O的切線，理由為：練級OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質得到CP垂直于OC，由OF與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等，同位角相等，分別得到兩對角相等，根據OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OC=OA，OF為公共邊，利用SAS得出三角形AOF與三角形COF全等，由全等三角形的對應角相等及垂直定義得到AF垂直于OA，即可得證；

（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA與AF的長，利用勾股定理求出OF的長，而OA=OC，OF為角平分線，利用三線合一得到E為AC中點，OE垂直于AC，利用面積法求出AE的長，即可確定出AC的長．

試題解析：（1）AF為圓O的切線，理由為：

連接OC，

∵PC為圓O切線，

∴CP⊥OC，

∴∠OCP=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，

∴∠AOF=∠COF，

∵在△AOF和△COF中，

∴△AOF≌△COF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF=90°，

則AF為圓O的切線；

（2）∵△AOF≌△COF，

∴∠AOF=∠COF，

∵OA=OC，

∴E為AC中點，即AE=CE=AC，OE⊥AC，

∵OA⊥AF，

∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，

根據勾股定理得：OF=5，

∵S_△AOF=OA•AF=•OF•AE，

∴AE=，

則AC=2AE=．

考點： 切線的判定與性質．