【題目】綜合題
(1)【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,E為AD上一點(diǎn),且DE=BD,可知AB=CE.
(2)【類比探究】如圖②,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,E是OC上任意一點(diǎn),AG⊥BE于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F.判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)【推廣應(yīng)用】在圖②中,若AB=4,BF= ,則△AGE的面積為 .
【答案】
(1)
解:∵AD⊥BC,∠ACB=45°,
∴∠ADB=∠CDE=90°,△ACD是等腰直角三角形,
∴AD=CD,
在△ABD和△CED中, ,
∴△ABD≌△CED(SAS),
∴AB=CE;
(2)
解:AF=BE;理由如下:
∵正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠BAD=90°,∠ABF=∠BCE=45°,AC⊥BD,OA=OB=OC,
∵AG⊥BE,
∴∠FAD+∠AFO=90°,
∵AG⊥BE,
∴∠FAO+∠AEG=90°,
∴∠AFO=∠AEG,
∵∠AFB=∠FAO+90°,
∴∠AFB=∠BEC,
在△ABF和△BCE中, ,
∴△ABF≌△BCE(AAS),
∴AF=BE;
(3)
【解析】【推廣應(yīng)用】解:∵AB=AD=4,∠BAD=90°,
∴BD= =4 ,
∴OA=OB=OC= BD=2 ,
∵BF= ,
∴OF=OB﹣BF= ,
∴AF= = ,
由角的互余性質(zhì)得:∠OAF=∠OBE,
在△OBE和△OAF中, ,
∴△OBE≌△OAF(ASA),
∴OE=OE= ,
∴AE=OA+OE=3 ,
∵∠OAF=∠GAE,∠AOF=∠AGE=90°,
∴△AOF∽△AGE,
∴ ,即 ,
解得:GE= ,AG= ,
∴△AGE的面積= AGGE= × × = ;
所以答案是: .
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)戶承包種植某水果,今年投資30 000元,收獲水果20 000千克.此水果在市場(chǎng)上的售價(jià)為每千克元,賣給到果園收購(gòu)的商販每千克元(.若農(nóng)戶將水果拉到市場(chǎng)上出售,則平均每天可售1000千克,需雇傭2人,每人每天付工資150元,運(yùn)輸及其他稅費(fèi)平均每天200元.
(1)分別用含的代數(shù)式表示兩種出售方式的純收入.
(2)若,且兩種出售方式在相同的時(shí)間內(nèi)售完全部水果.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種出售方式較好.
(3)該農(nóng)戶總結(jié)今年的種植及銷售的經(jīng)驗(yàn),加強(qiáng)果園管理,力爭(zhēng)明年純收入達(dá)到100000元,則與(2)中今年較好的出售方式的純收入相比,明年的純收入的增長(zhǎng)率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí),老師布置了一道作業(yè)題:
“如圖①,已知,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ,使∠QAP=∠BAC,連接BQ,CP,則BQ=CP.”
小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué),他通過(guò)對(duì)圖①的分析,證明了△ABQ≌△ACP,從而證得BQ=CP之后,他將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC外,原題中其他條件不變,發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立,請(qǐng)你就圖②給出證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,BC邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2,……,P10, 記(i = 1,2,……,10),那么 M1+M2+……+M10的值為( )
A. 4 B. 14 C. 40 D. 不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC→CB→BA邊運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在AC、CB、BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3、4、5個(gè)單位,直線l從與AC重合的位置開(kāi)始,以每秒 個(gè)單位的速度沿CB方向移動(dòng),移動(dòng)過(guò)程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)t=秒時(shí),△PCE是等腰直角三角形;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),將△PEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1落在EF上,點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F1 , 當(dāng)EF1⊥AB時(shí),求t的值;
(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值;
(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)△PEF的面積為S,請(qǐng)直接寫出S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了測(cè)量出大樓AB的高度,從距離樓底B處50米的點(diǎn)C(點(diǎn)C與樓底B在同一水平面上)出發(fā),沿傾斜角為30°的斜坡CD前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)D,在點(diǎn)D處測(cè)得樓頂A的仰角為64°,求大樓AB的高度(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.9,cos64°≈0.4,tan64°≈2.1, ≈1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如圖1,點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).
請(qǐng)解決下列問(wèn)題:
(1)已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求BN的長(zhǎng);
(2)如圖2,若點(diǎn)F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)D,E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且EC>DE>BD,求證:點(diǎn)M,N是線段FG的勾股分割點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練,平均成績(jī)?yōu)?/span>9環(huán),且前9次的成績(jī)(單位:環(huán))依次為:8,10,9,10,7,9,10,8,10.
(1)求甲第10次的射擊成績(jī);
(2)求甲這10次射擊成績(jī)的方差;
(3)乙在相同情況下也進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練,平均成績(jī)?yōu)?/span>9環(huán),方差為1.6環(huán)2,請(qǐng)問(wèn)甲和乙哪個(gè)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一個(gè)正方體的表面全涂上顏色.
(1)如果把正方體的棱2等分,然后沿等分線把正方體切開(kāi),能夠得到8個(gè)小正方體,設(shè)其中3面被涂上顏色的有a個(gè),則a= ;
(2)如果把正方體的棱三等分,然后沿等分線把正方體切開(kāi),能夠得到27個(gè)小正方體.設(shè)這些小正方體中有3個(gè)面涂有顏色的有a個(gè),各個(gè)面都沒(méi)有涂色的有b個(gè),則a+b= ;
(3)如果把正方體的棱4等分,然后沿等分線把正方體切開(kāi),能夠得到64個(gè)小正方體.設(shè)這些小正方體中有2個(gè)面涂有顏色的有c個(gè),各個(gè)面都沒(méi)有涂色的有b個(gè),則c+b= ;
(4)如果把正方體的棱n等分,然后沿等分線把正方體切開(kāi),能夠得到 個(gè)小正方體.設(shè)這些小正方體中有2個(gè)面涂有顏色的有c個(gè),各個(gè)面都沒(méi)有涂色的有b個(gè),則c+b= .
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