Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，連接DF．求證：∠ADC＝∠BDF．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

作BG⊥CB，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由ASA證明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，證出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS證明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出結(jié)論．

證明：作BG⊥CB，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示：

∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，

∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝∠BCG，

在△ACD和△CBG中，

，

∴△ACD≌△CBG（ASA），

∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，

∵CD＝BD，

∴BG＝BD，

∵∠ABC＝45°，

∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，

在△BFG和△BFD中，

，

∴△BFG≌△BFD（SAS），

∴∠FGB＝∠FDB，

∴∠ADC＝∠BDF．