【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2OA.
(1)該拋物線的解析式為 ;
(2)直線y=kx+l(k>0)與y軸交于點(diǎn)D,與直線BC交于點(diǎn)M,與拋物線上直線BC上方部分交于點(diǎn)P,設(shè)m=,求m的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)D、P為(2)中求出的點(diǎn),點(diǎn)Q為x軸的一個動點(diǎn),點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)P、D、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時,直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)當(dāng)n=2時,m有最大值,最大值為,此時P(2,4);(3)滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為(,3)或(6,﹣3).
【解析】
(1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn),所以可以假設(shè)y=a(x+2)(x-4),求出點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a即可;
(2)由△CMD∽△FMP,可得,根據(jù)m關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題;
(3)存在這樣的點(diǎn)Q、N,使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.分兩種情形討論:①當(dāng)DP是矩形的邊時,有兩種情形;②當(dāng)DP是對角線時,利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解.
(1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣2,0)、B(4,0)兩點(diǎn),
所以可以假設(shè)y=a(x+2)(x﹣4),
∵OC=2OA,OA=2,
∴C(0,4),代入拋物線的解析式得到a=﹣,
∴y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4,
故答案為:y=﹣x2+x+4;
(2)如圖1中,由題意,點(diǎn)P在y軸的右側(cè),作PE⊥x軸于E,交BC于F.
∵CD∥PE,
∴△CMD∽△FMP,
∴m=,
∵直線y=kx+1(k>0)與y軸交于點(diǎn)D,則D(0,1),
∵BC的解析式為y=﹣x+4,
設(shè)P(n,﹣n2+n+4),則F(n,﹣n+4),
∴PF=﹣n2+n+4﹣(﹣n+4)=﹣(n﹣2)2+2,
∴m==﹣(n﹣2)2+,
∵﹣<0,
∴當(dāng)n=2時,m有最大值,最大值為,此時P(2,4);
(3)存在這樣的點(diǎn)Q、N,使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.
①當(dāng)DP是矩形的邊時,有兩種情形,
a、如圖2﹣1中,四邊形DQNP是矩形時,
有(2)可知P(2,4),代入y=kx+1中,得到k=,
∴直線DP的解析式為y=x+1,可得D(0,1),E(﹣,0),
由△DOE∽△QOD可得,
∴OD2=OEOQ,
∴1=OQ,
∴OQ=,
∴Q(,0).
根據(jù)矩形的性質(zhì),將點(diǎn)P向右平移個單位,向下平移1個單位得到點(diǎn)N,
∴N(2+,4﹣1),即N(,3)
b、如圖2﹣2中,四邊形PDNQ是矩形時,
∵直線PD的解析式為y=x+1,PQ⊥PD,
∴直線PQ的解析式為y=﹣x+,
∴Q(8,0),
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知,將點(diǎn)D向右平移6個單位,向下平移4個單位得到點(diǎn)N,
∴N(0+6,1﹣4),即N(6,﹣3).
②當(dāng)DP是對角線時,設(shè)Q(x,0),則QD2=x2+1,QP2=(x﹣2)2+42,PD2=13,
∵Q是直角頂點(diǎn),
∴QD2+QP2=PD2,
∴x2+1+(x﹣2)2+16=13,
整理得x2﹣2x+4=0,方程無解,此種情形不存在,
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為(,3)或(6,﹣3).
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根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)請補(bǔ)全條形圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù).
(2)若某市中心城區(qū)約有90萬人口,請你估計該市中心城區(qū)最關(guān)注教育問題的人數(shù)約有多少萬人?
(3)據(jù)統(tǒng)計,2017年網(wǎng)民最關(guān)注教育問題的人數(shù)所占百分比約為10%,則從2017年到2019年關(guān)注該問題網(wǎng)民數(shù)的年平均增長率約為多少?(已知2017~2019年每年接受調(diào)查的網(wǎng)民人數(shù)相同,)
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