Question

【題目】在矩形ABCD中，直線MN經(jīng)過點A，BE⊥MN于點E，CF⊥MN于點F，DG⊥MN于點G.

(1)當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①位置時，求證:BE +CF =DG; .

(2)當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③位置時，線段BE，CF，DG之間又有怎樣的數(shù)量關系?

請寫出你的猜想，不需要證明;

(3)在(1)(2)的條件下，若CD =2AE =6，EF =43，則CF= 。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)或.

【解析】

（1）過點C作CH⊥DG于點H，證和四邊形HGFC為矩形即可得出答案；

（2）圖②過點C作CH⊥BE于點H，可知四邊形FCGE為矩形，△BCH≌△DMG即可得出答案，圖③過點D作DH⊥CF于點H，可知四邊形FCDH為矩形，△ABE≌△DCH，即可得出答案.

解：(1)證明:過點C作CH⊥DG于點H，則∠DHC＝∠AEB=90°.

∵∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠DAG=90°

∴∠ABE=∠DAG

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠CDH=90°，

∴∠DAG=∠CDH

∴∠ABE=∠CDH

在△ABE與△CDH中，∠ABE=∠CDH，∠BEA=∠CHD=90°,AB=DC

∴△ABE≌△CDH

∴BE=DH

∴四邊形HGFC為矩形

(2)圖②：

理由：過點C作CH⊥BE于點H，與（1）同理四邊形FCGE為矩形，CF=EH，

∴CH∥MN，∠BHC=90°

∴∠HBC+∠HCB=90°

又∵∠HBC+∠ABE=90°

∴∠ABE=∠HCB

∵∠BAE+∠DMG=90°，∠BAE+∠ABE=90°

∴∠DMG=∠ABE=∠HCB

在△BCH與△DMG中，∠BHC=∠DGM=90°，∠HCB=∠DMG，BC=DM

∴△BCH≌△DMG

∴BH=DG

∴

圖③：

理由：過點D作DH⊥CF于點H，與（1）同理四邊形FCDH為矩形，DG=FH，

∵∠CDH+∠ADH=90°，∠ADH+∠GDA=90°

∴∠CDH=∠GDA

∵∠GAD+∠GDA=90°，∠GAD+∠EAB=90°

∴∠GDA=∠EAB

∴∠EAB=∠CDH

在△ABE與△DCH中，∠BEA=∠CHD=90°，∠EAB=∠CDH，AB=DC

∴△ABE≌△DCH

∴BE=CH

∴CF-CH=CF-BE=FH=DG

（3）略