Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別與⊙O相切于點A，B，CD與⊙O相切于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OE、OC，已知AD＝2，BC＝4，對于下列結論：①AD+BC＝CD：②∠DOC＝90°；③S梯形ABCD＝CDOA：④OA＝2．其中結論正確的有_____．（請把正確的結論的序號填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

連接OE，利用切線長定理得到AD=ED，CE=CB，且OD、OC分別為角平分線，利用平角的定義及等式性質得到∠COD為直角，進而確定出三角形ODE與三角形COD相似，由相似得比例列出關系式，可求OA的長，根據(jù)CD=DE+EC，等量代換得到AD+BC=CD，由梯形的面積公式可得S梯形ABCD＝AB（AD+BC）＝ABCD，即可得到正確的選項；

解：∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，

∴∠DAO＝∠DEO＝∠OBC＝90°，DA＝DE＝2，CE＝CB＝4，

∴AD∥BC，

∴CD＝DE+EC＝AD+BC，選項①正確；

在Rt△ADO和Rt△EDO中，

，

∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），

∴∠AOD＝∠EOD，

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，

∴∠EOC＝∠BOC，

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB＝180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）＝180°，即∠DOC＝90°，選項②正確；

∴∠DOC＝∠DEO＝90°，又∠EDO＝∠ODC，

∴△EDO∽△ODC，

∴，即OE2＝DEEC＝8，

∴OE＝，

∴OA＝OE＝，選項④錯誤；

而S梯形ABCD＝AB（AD+BC）＝ABCD，選項③錯誤；

則正確的選項有①②．

故答案為：①②.