【題目】閱讀下面材料,并解決問題:
(1)如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求∠APB的度數(shù).
為了解決本題,我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處,此時△ACP′≌△ABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中,從而求出∠APB=__________;
(2)基本運用
請你利用第(1)題的解答思想方法,解答下面問題:
已知如圖②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且∠EAF=45°,求證:EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如圖③,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,點O為Rt△ABC內(nèi)一點,連接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.
【答案】(1)150°;(2)EF2=BE2+FC2.(3).
【解析】
(1)由△ACP′≌△ABP可得旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°,可得△APP′為等邊三角形,根據(jù)勾股定理逆定理可證明△PP′C為直角三角形,根據(jù)∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C即可得答案;(2)如圖2,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EAF=∠E′AF,利用SAS可證明△EAF≌△E′AF,可得E′F=EF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠E′CF=90°,根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論;(3)如圖3,將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處,連接OO′,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出AB、BC的長,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A′BC=90°,△BOO′是等邊三角形,由∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,利用平角的定義可證明C、O、A′、O′四點共線,利用勾股定理求出A′C的長即可得答案.
(1)∵△ACP′≌△ABP,
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,
由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°,
∴△APP′為等邊三角形,
∴P′P=AP=3,∠AP′P=60°,
∵P′C=PB=4,PC=5,
∴PC2=P′C2+P′P2,
∴△PP′C為直角三角形,且∠PP′C=90°,
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°.
故答案為:150°
(2)如圖2,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠E′AF=∠EAE′-∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠E′AF,
在△EAF和△E′AF中,
∴△EAF≌△E′AF(SAS),
∴E′F=EF,
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E′CF=45°+45°=90°,
由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,
即EF2=BE2+FC2.
(3)如圖3,將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處,連接OO′,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC=,
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,∠ABC=30°,
∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,
∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△A′O′B,
∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,
∴△BOO′是等邊三角形,
∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,
∴C、O、A′、O′四點共線,
在Rt△A′BC中,A′C=,
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,直線MN經(jīng)過點A,BE⊥MN于點E,CF⊥MN于點F,DG⊥MN于點G.
(1)當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①位置時,求證:BE +CF =DG; .
(2)當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③位置時,線段BE,CF,DG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
請寫出你的猜想,不需要證明;
(3)在(1)(2)的條件下,若CD =2AE =6,EF =43,則CF= 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,E是AB的中點,過點E作AC和BC的垂線,垂足分別為點D和點F,四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動,點C與點A重合時停止運動,設(shè)運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與△ABC的重疊部分面積為S.則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿高度,如圖,旗桿的頂端垂下一繩子,將繩子拉直釘在地上,末端恰好在C處且與地面成60°角,小明拿起繩子末端,后退至E處,拉直繩子,此時繩子末端D距離地面1.6m且繩子與水平方向成45°角.
(1)填空:AD_____AC(填“>”,“<”,“=”).
(2)求旗桿AB的高度.
(參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73,結(jié)果精確到0.1m).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市銷售一種文具,進(jìn)價為5元/件.售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元,求當(dāng)天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當(dāng)天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(7分)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中點,E是邊AD上的動點,EG的延長線與BC的延長線交于點F,連接CE,DF.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)①當(dāng)AE= cm時,四邊形CEDF是矩形;
②當(dāng)AE= cm時,四邊形CEDF是菱形;(直接寫出答案,不需要說明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請閱讀下列材料:
問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.
小剛同學(xué)的思路是:將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2),連接PP′,可得△P′PC是等邊三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠APB=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長為,問題得到解決.
請你參考小剛同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:
如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=,BP=2,PC=.求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】多多班長統(tǒng)計去年1~8月“書香校園”活動中全班同學(xué)的課外閱讀數(shù)量(單位:本),繪制了如圖折線統(tǒng)計圖,下列說法正確的是( )
A.極差是47B.眾數(shù)是42
C.中位數(shù)是58D.每月閱讀數(shù)量超過40的有4個月
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在2×2的正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,△ABC與△ADE的頂點都在格點上.
(1)求證:△ABC∽△ADE;
(2)求∠MDA+∠NDE的度數(shù).
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