Question

【題目】已知直線y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，拋物線y=－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A、C，且與x軸交于另一點(diǎn)B，在第一象限的拋物線上任取一點(diǎn)D，分別連接CD、AD，作于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求△ACD面積的最大值；

(3)若△CED與△COB相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(3，2)、D2(，)．

【解析】分析：(1)根據(jù)直線y＝－x＋2與x軸，y軸相交于點(diǎn)A，C，求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，設(shè)D(t，)，由S△ACD＝S△CDF＋S△ADF，用含t的代數(shù)式表示S△ACD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解；(3)除了∠BOC＝∠CED外，△BOC與△CDE的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以需要分兩類討論，①當(dāng)∠DCE＝∠BCO時(shí)，可得CD∥AB，點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)相等；②當(dāng)∠DCE＝∠CBO時(shí)，將△OCA沿AC翻折得△MCA，點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，AN⊥MH于點(diǎn)N，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo)后，再由直線CM與拋物線的交點(diǎn)列方程組求解.

詳解：(1)∵直線與x軸.y軸分別交于點(diǎn)A.C，

∴A(4，0)，C(0，2)，OA＝4，OC＝2，

將A(4，0)，C(0，2)分別代入中，

，解得.

∴.

(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，

設(shè)D(t，)，其中，則F(t，).

∴DF＝－()＝，

S△ACD＝S△CDF＋S△ADF

＝

＝

＝

＝

＝.

∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△ACD最大＝4．

(3)設(shè)y＝0，則＝0，解得，，

∴B(－1，0)，OB＝1.

∵，，∴.

∵∠BOC＝∠COA＝90°，

∴△BOC∽△COA，

∴∠OCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠OBC.

①當(dāng)∠DCE＝∠BCO時(shí)，∠DCE＝∠OAC，

∴CD∥OA，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相等，

令y＝2，則＝2，解得，，

∴D1(3，2).

②如圖2，當(dāng)∠DCE＝∠CBO時(shí)，∠DCE＝∠OCA，

將△OCA沿AC翻折得△MCA，點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，AN⊥MH于點(diǎn)N，

則CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，

設(shè)HM＝m，MN＝HN－HM＝OA－HM＝4－m，

由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易證△CHM∽△MNA，且相似比，

∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2－m，

在Rt△CMH中，由勾股定理得：，解得，，

∴MH＝，OH＝，M(，).

設(shè)直線CM的表達(dá)式為y＝kx＋n，則，解得，

∴，

由，解得，，

∴D2(，).

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(3，2).D2(，)．