Question

【題目】已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個動點，將△ABD沿BD所在直線折疊，使點A落在點P處．

（1）如圖1，若點D是AC中點，連接PC．

①寫出BP，BD的長；

②求證：四邊形BCPD是平行四邊形．

（2）如圖2，若BD=AD，過點P作PH⊥BC交BC的延長線于點H，求PH的長．

Answer 1

【答案】（1）①BD=，BP=；②證明見解析；（2）．

【解析】試題（1）①分別在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解決問題；

②證明DP∥BC，DP=BC即可；

（2）如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．設BD=AD=x，則CD=4﹣x．在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x的值，從而得出DN的長．由△BDN∽△BAM，可得，由此求出AM．由△ADM∽△APE，可得，由此求出AE的長，可得EC的長，由此即可解決問題．

試題解析：解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB==．∵AD=CD=2，∴BD==．由翻折可知：BP=BA=．

②如圖1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，∴四邊形BCPD是平行四邊形．

（2）如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．設BD=AD=x，則CD=4﹣x．在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=．∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=．在Rt△BDN中，DN= =．由△BDN∽△BAM，可得，∴，∴AM=2，∴AP=2AM=4．由△ADM∽△APE，可得，∴，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=4﹣=．易證四邊形PECH是矩形，∴PH=EC=．