Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像交坐標軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積.

Answer 1

【答案】(1)

(2)存在，P（ ）

（3）當P點位（2，-6）時，最大面積為8

【解析】

（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標；

（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點的坐標．

(1)設拋物線解析式為

把A. B. C三點坐標代入可得 解得

∴拋物線解析式為

(2)作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，

∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，

∵C(0,4)，

∴D(0,2)，

∴P點縱坐標為2，

代入拋物線解析式可得，解得 (小于0,舍去)或 ∴存在滿足條件的P點,其坐標為

(3)∵點P在拋物線上，

∴可設P，

過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，

∵B(4,0),C(0,4)，

∴直線BC解析式為y=x4，

∴F(t,t4)，

∴

∴S=S+S=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)

=PFOB ×4=2(t2)2+8，

∴當t=2時,S最大值為8,此時t3t4=6，

∴當P點坐標為(2,6)時，△PBC的最大面積為8.