Question

【題目】已知，矩形中，，點分別在邊上，直線交矩形對角線于點，將沿直線翻折，點落在點處，且點在射線上。

Ⅰ.如圖①，當時，①求證；②求的長；

Ⅱ.請寫出線段的長的取值范圍，及當的長最大時的長。

Answer 1

【答案】Ⅰ. ①見解析；②；Ⅱ.0≤CP≤5，

【解析】

Ⅰ. ①先由折疊得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再根據已知判斷出AB∥EP，進而判斷出CN=CE，②設CN=CE=x，先根據勾股定理求出AC的長，再根據AB∥EP證出CPECAB，從而得到比例式即可．

Ⅱ. 先確定出PC最大和最小時的位置，即可得出PC的范圍，最后用折疊的性質和勾股定理即可得出結論．

解：Ⅰ. ①∵△AME沿直線MN翻折，點A落在點P處，
∴△AME≌△PME．
∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC．
∵EP⊥BC，∴AB∥EP．
∴∠AME=∠PEM．
∴∠AEM=∠AME．
∴AM=AE，
∵ABCD是矩形，∴AB∥DC．
∴．∴CN=CE，
②設CN=CE=x．
∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴根據勾股定理得AC=5．∴PE=AE=5-x．
∵EP⊥BC，AB∥EP
∴CPECAB

∴==．
∴，
∴x=，
即CN=

Ⅱ. ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=5，
由折疊知，AE=PE，
由三角形的三邊關系得，PE+CE＞PC，
∴AC＞PC，
∴PC＜5，
∴點E是AC中點時，PC最小為0，當點E和點C重合時，PC最大為AC=5，
∴0≤CP≤5，

如圖，當點C，N，E重合時，PC=BC+BP=5，

∴BP=2，
由折疊知，PM=AM，
在Rt△PBM中，PM=4-BM，根據勾股定理得，PM2-BM2=BP2，
∴（4-BM）2-BM2=4，
∴BM=，

在Rt△BCM中，根據勾股定理得，MN=

當CP最大時MN=，