Question

【題目】已知，矩形中，，點(diǎn)分別在邊上，直線交矩形對(duì)角線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且點(diǎn)在射線上。

Ⅰ.如圖①，當(dāng)時(shí)，①求證；②求的長；

Ⅱ.請(qǐng)寫出線段的長的取值范圍，及當(dāng)的長最大時(shí)的長。

Answer 1

【答案】Ⅰ. ①見解析；②；Ⅱ.0≤CP≤5，

【解析】

Ⅰ. ①先由折疊得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再根據(jù)已知判斷出AB∥EP，進(jìn)而判斷出CN=CE，②設(shè)CN=CE=x，先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)AB∥EP證出CPECAB，從而得到比例式即可．

Ⅱ. 先確定出PC最大和最小時(shí)的位置，即可得出PC的范圍，最后用折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論．

解：Ⅰ. ①∵△AME沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，
∴△AME≌△PME．
∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC．
∵EP⊥BC，∴AB∥EP．
∴∠AME=∠PEM．
∴∠AEM=∠AME．
∴AM=AE，
∵ABCD是矩形，∴AB∥DC．
∴．∴CN=CE，
②設(shè)CN=CE=x．
∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴根據(jù)勾股定理得AC=5．∴PE=AE=5-x．
∵EP⊥BC，AB∥EP
∴CPECAB

∴==．
∴，
∴x=，
即CN=

Ⅱ. ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=5，
由折疊知，AE=PE，
由三角形的三邊關(guān)系得，PE+CE＞PC，
∴AC＞PC，
∴PC＜5，
∴點(diǎn)E是AC中點(diǎn)時(shí)，PC最小為0，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，PC最大為AC=5，
∴0≤CP≤5，

如圖，當(dāng)點(diǎn)C，N，E重合時(shí)，PC=BC+BP=5，

∴BP=2，
由折疊知，PM=AM，
在Rt△PBM中，PM=4-BM，根據(jù)勾股定理得，PM2-BM2=BP2，
∴（4-BM）2-BM2=4，
∴BM=，

在Rt△BCM中，根據(jù)勾股定理得，MN=

當(dāng)CP最大時(shí)MN=，