Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-A方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AC，BC的長．
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM的周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請(qǐng)說明理由．
 

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AC：BC=4：3，設(shè)AC=4kcm，BC=3kcm，利用勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到AC與BC的長；
（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，根據(jù)△QHB∽△ACB，得到比例式，表示出QH，由PB為底，QH為高列出y與x的關(guān)系式（0＜x≤3）；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，由△AQE∽△ABC，得到比例式，表示出QE，同理表示出y與x的關(guān)系式（3＜x＜7）；
（3）存在，理由為：當(dāng)x=5秒時(shí)，求出AQ，AP，根據(jù)AC與BC的長，得到PQ為三角形ABC的中位線，再由AC與BC垂直，得到PQ與AC垂直，即PQ為AC的垂直平分線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出PC與AP的長，當(dāng)P與M重合時(shí)，三角形BCM周長最小，求出周長的最小值即可．
解答：
解：（1）設(shè)AC=4kcm，BC=3kcm，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC²+BC²=AB²，即（4k）²+（3k）²=10²，
解得：k=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖所示，
∵∠ACB=∠QHB=90°，∠B=∠B，
∴△QHB∽△ACB，
∴=，即=，
∴QH=1.6x，
∴y=BP×QH=×1.6x（10-x）=-0.8 x²+8x（0＜x≤3）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，如備用圖所示，
∵∠ACB=∠AEQ=90°，∠A=∠A，
∴△AQE∽△ABC，
∴=，即=，
∴QE=8.4-1.2x，
∴y=PB×QE=0.6x²-10.2x+42（3＜x＜7）；

（3）存在，理由為：當(dāng)x=5秒時(shí)，AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，

∵AC=8，AB=10，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分線，
∴PC=AP=5，
∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長最小，
∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=5+6+5=16，
∴△BCM的周長最小值為16．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．