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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A(14),點B(32),連接OA,OB

1)求直線OBAB的解析式;

2)求AOB的面積.

3)下面兩道小題,任選一道作答.作答時,請注明題號,若多做,則按首做題計入總分.

①在y軸上是否存在一點P,使PAB周長最。舸嬖,請直接寫出P坐標;若不存在,請說明理由.

②在平面內是否存在一點C,使以A,O,C,B為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出C坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1)直線OB的解析式為,直線AB的解析式為y= -x+525;(3)①存在,(0,);②存在,(2,-2)(46)(-2,2)

【解析】

1)根據題意分別設出兩直線的解析式,代入直線上兩點坐標即可求出直線OBAB的解析式;

2)延長線段ABx軸于點D,求出D的坐標,分別求出即可求得;

3)①根據兩點之間線段最短,ABy軸同側,作出點A關于y的對稱點,連接By軸的交點即為所求點P;

②使以AO,CB為頂點的四邊形是平行四邊形,則分三種情況分析,分別以OA、AB、OB為對角線作出平行四邊形,利用中點坐標公式代入求解即可.

解:(1)設直線OB的解析式為y=mx

∵點B(3,2)

∴直線OB的解析式為,

設直線AB的解析式為y=kx+b

根據題意可得:

解之得

∴直線AB的解析式為y= -x+5

故答案為:直線OB的解析式為,直線AB的解析式為y= -x+5;

2)如圖,延長線段ABx軸于點D,

y=0時,-x+5=0x=5,

∴點D橫坐標為5,OD=5,

,

,

故答案為:5

3)①存在,(0,);

過點Ay軸的對稱點,連接B,交y軸與點P,則點P即為使PAB周長最小的點,

由作圖可知,點坐標為,又點B32

則直線B的解析式為:

∴點P坐標為,

故答案為:;

②存在.

有三種情況,如圖所示:設點C坐標為,

當平行四邊形以AO為對角線時,

由中點坐標公式可知,AO的中點坐標和BC中點坐標相同,

解得

∴點坐標為,

當平行四邊形以AB為對角線時,AB的中點坐標和OC的中點坐標相同,則

∴點的坐標為

當平行四邊形以BO為對角線時,BO的中點坐標和AC的中點坐標相同,則

解得

∴點坐標為,

故答案為:存在,

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