Question

【題目】如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，8），（﹣3，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿射線AO方向運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1單位/秒的速度沿射線BO方向運(yùn)動，以PE為斜邊構(gòu)造Rt△PEC（字母按逆時針順序），且EC=2PC，拋物線y=﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，4），（﹣1，﹣2），設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)t=2時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）①當(dāng)t＜3時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
②在運(yùn)動過程中，若點(diǎn)C恰好落在該拋物線上，請直接寫出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，4），（﹣1，﹣2），

∴

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣2x2+4x+4．

（2）

解：如圖1中，t=2時，EO=1，OP=4，設(shè)C（x，y），作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q．

∵∠PCQ+∠CPQ=90°，∠ECH+∠PCQ=90°，

∴∠CPQ=∠ECH，∵∠Q=∠CHE=90°，

∴△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（ ， ）

（3）

解：①如圖1中，設(shè)C（x，y），則PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，

∵△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（ ， ）．

②當(dāng)t＜3時，如果點(diǎn)C在拋物線上，則有 =﹣2（ ）2+4 +4，

解得t=1或6（舍棄），

∴t=1時，點(diǎn)C在拋物線上．

當(dāng)3≤t＜4時，由圖象可知，不存在這樣的點(diǎn)C在拋物線上，

當(dāng)t＞4時，如圖2中，作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q．

設(shè)C（x，y），則PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，

∵△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（ ， ），

如果點(diǎn)C在拋物線上，則有 =﹣2（ ）2+4 +4，

解得t=6或1（舍棄），

∴t=6時，點(diǎn)C在拋物線上，

綜上所述t=1或6s時，點(diǎn)C 拋物線上

【解析】（1）把（0，4），（﹣1，﹣2）代入拋物線解析式y(tǒng)=﹣2x2+bx+c，列方程組即可解決問題．（2）如圖1中，t=2時，EO=1，OP=4，設(shè)C（x，y），作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q，由△PCQ∽△CEH，得 = = ，列出方程組，解方程組即可解決問題．（3）①如圖1中，設(shè)C（x，y），則PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，由△PCQ∽△CEH，得 = = ，由EC=2PC，可得 = = ，用t表示x、y即可解決問題．②分三種情形①t＜3時，列出方程即可解決問題．②3≤t＜4時，顯然不存在這樣的點(diǎn)C在拋物線上．③t＞4時，如圖2中，作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q．設(shè)C（x，y），則PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，由△PCQ∽△CEH，得到 = = ，解方程組即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)，代入拋物線即可解決問題．