【題目】在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),以AC為腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,連接BE,交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G.
(1)若∠BAC=50°,求∠AEB的度數(shù);
(2)求證:∠AEB=∠ACF;
(3)試判斷線段EF、BF與AC三者之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)20°;(2)證明見解析;(3)EF2+BF2=2AC2.理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)得出∠ABE=∠AEB,求出∠BAE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠CAF,根據(jù)SAS推出△BAF≌△CAF,根據(jù)全等得出∠ABF=∠ACF,即可得出答案;
(3)根據(jù)全等得出BF=CF,求出∠CFG=∠EAG=90°,根據(jù)勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2,EC2=AC2+AE2=2AC2,即可得出答案.
(1)∵AB=AC,△ACE是等腰直角三角形,
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
又∵∠BAC=50°,∠EAC=90°,
∴∠BAE=50°+90°=140°,
∴∠AEB=(180°-140°)÷2=20°;
(2)∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),
∴∠BAF=∠CAF.
在△BAF和△CAF中
,
∴△BAF≌△CAF(SAS),
∴∠ABF=∠ACF,
∵∠ABE=∠AEB,
∴∠AEB=∠ACF;
(3)∵△BAF≌△CAF,
∴BF=CF,
∵∠AEB=∠ACF,∠AGE=∠FGC,
∴∠CFG=∠EAG=90°,
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2,
∵△ACE是等腰直角三角形,
∴∠CAE=90°,AC=AE,
∴EC2=AC2+AE2=2AC2,
即EF2+BF2=2AC2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,∠BAC=120°,點(diǎn) D 是 BC 上一點(diǎn),BD 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn)E,將△ACD 沿 AD 折疊,點(diǎn) C 恰好與點(diǎn) E 重合,則∠B 等于_______°;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知,平分,平分,則下列結(jié)論中:
①;②平分;③;④,正確的有( )
A.1個(gè)B.個(gè)C.3個(gè)D.個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】路橋方林汽車城某4S店銷售某種型號(hào)的汽車,每輛車的進(jìn)貨價(jià)為15萬(wàn)元,市場(chǎng)調(diào)研表明:當(dāng)銷售價(jià)為21萬(wàn)元時(shí),平均每周能售出6輛,而當(dāng)銷售價(jià)每降低0.5萬(wàn)元時(shí),平均每周能多售出3輛,如果設(shè)每輛汽車降價(jià)x萬(wàn)元,平均每周的銷售利潤(rùn)為W萬(wàn)元
(1)該4S店要想平均周獲得72萬(wàn)元的銷售利潤(rùn),并且要盡可能地讓利于顧客,則每輛汽車的定價(jià)應(yīng)為多少萬(wàn)元?
(2)試寫出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說(shuō)明當(dāng)每輛汽車的定價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí),平均每周的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).如圖,已知⊙O的半徑為5,則拋物線與該圓所圍成的陰影部分(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A. 24 B. 23 C. 22 D. 21
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等邊三角形ABC 中,BD是角平分線,點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上,且CD=CE,則∠BDE的度數(shù)是( )
A.90°B.100°C.120°D.無(wú)法確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)解答下列各題:
(1)數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)和之間的距離表示為_______,如果,那么_______.
(2)若點(diǎn)表示的整數(shù)為,則當(dāng)________時(shí),.
(3)要使取最小值時(shí),相應(yīng)的的取值范圍是________,最小值是________.
(4)已知,則的最大值為_______,最小值為_______.
(5)若,則的取值范圍是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖22,將—矩形OABC放在直角坐際系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A在x軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、N重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F。
【1】若△OAE、△OCF的而積分別為S1、S2.且S1+S2=2,求的值:
【2】若OA=2.0C=4.問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形OAEF的面積最大.其最大值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)閱讀理解:課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:
在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍。
小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的解決方法(如圖1):
①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD;
②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中;
③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是_____________。
感悟:解題時(shí),條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件,可以考慮倍長(zhǎng)中線,構(gòu)造全等三角形,把分散的己知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中。
(2)請(qǐng)你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明。
(3)思考:已知,如圖2,AD是△ABC的中線,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°。試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明。
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