Question

（2013•曲靖）如圖，⊙O的直徑AB=10，C、D是圓上的兩點，且

AC

=

CD

=

DB

．設過點D的切線ED交AC的延長線于點F．連接OC交AD于點G．
（1）求證：DF⊥AF．
（2）求OG的長．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據

AC

=

CD

=

DB

，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，從而可得∠AFD=90°；
（2）根據垂徑定理可得OG垂直平分AD，繼而可判斷OG是△ABD的中位線，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．

解答：解：（1）連接BD，
∵

AC

=

CD

=

DB

，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADF=∠ABD=60°，
∴∠CAD+∠ADF=90°，
∴DF⊥AF．
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵

AC

=

CD

，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG=

1

2

BD=

5

2

．

點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理及垂徑定理的知識，解答本題要求同學們熟練掌握各定理的內容及含30°角的直角三角形的性質．