【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有2個實數(shù)根,且其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的3倍,則稱該方程為“立根方程”.
(1)方程x2﹣4x+3=0 立根方程,方程x2﹣2x﹣3=0 立根方程;(請?zhí)?/span>“是”或“不是”)
(2)請證明:當點(m,n)在反比例函數(shù)y上時,關于x的一元二次方程mx2+4x+n=0是立根方程;
(3)若方程ax2+bx+c=0是立根方程,且兩點P(3,2)、Q(6,2)均在二次函數(shù)y=ax2+bx+c上,求方程ax2+bx+c=0的兩個根.
【答案】(1)是,不是;(2)見解析;(3)x1=, x2=
【解析】
(1)分別解方程x2-4x+3=0與x2-2x-3=0,求出它們的根,根據(jù)“立根方程”的定義,判斷它們是不是立根方程.
(2)由點(m,n)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,得到mn=3,解方程mx2+4x+n=0求得x1與x2的值,判斷是不是立根方程.
(3)由方程ax2+bx+c=0是立根方程,得到x1=3x2,由縱坐標相同的兩點P(3,2)、Q(6,2)都在拋物線y=ax2+bx+c上,根據(jù)拋物線的對稱軸得到x1+x2=9,從而求出方程的兩個根.
解:(1)解方程x2-4x+3=0,得:x1=3,x2=1,
∵x1=3x2,
∴方程x2-4x+3=0是立根方程;
解方程x2-2x-3=0,得:x1=3,x2=-1,
∵x1=-3x2,
∴方程x2-2x-3=0不是立根方程.
故答案為:是,不是.
(2)∵點(m,n)在反比例函數(shù)上,所以
用求根公式解方程得:
x1=﹣,x2=﹣,
∴x1=3x2,
當點(m,n)在反比例函數(shù)y=上時,一元二次方程mx2+4x+n=0是立根方程;
(3)∵方程ax2+bx+c=0是立根方程,∴設x1=3x2,
∵P(3,2),Q(6,2)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴拋物線的對稱軸,
∴x1+x2=9,∴3x2+x2=9,∴x2=,∴x1=3x2=.
所以方程ax2+bx+c=0的兩個根為:x1=, x2=
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【題目】如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點,將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN,連接A′C,則A′C長度的最小值是( )
A. B. -1C. -1D.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,D是AB邊上一個動點(不與點A、B重合),E是BC邊上一點,且∠CDE=30°.設AD=x,BE=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,是☉O的直徑,點在☉O上,過點C的切線與AB的延長線交于點P,連接AC,過點O作OD⊥AC交☉O于點D,連接CD.若∠A=30°,PC=6,則CD的長為
A. B. C. 3D.
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【題目】某學校為九年級數(shù)學競賽獲獎選手購買以下三種獎品,其中小筆記本每本5元,大筆記本每本7元,鋼筆每支10元,購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍,共花費346元,若使購買的獎品總數(shù)最多,則這三種獎品中,大筆記本購買的數(shù)量是____本.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,連接BE,并延長BE交CD的延長線于點F.
(1)證明:FD=AB;(2)當平行四邊形ABCD的面積為8時,求△FED的面積.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A的坐標是(1,3),將點A繞原點O順時針旋轉90°得到點A′,則點A′的坐標是( )
A. (-3,1) B. (3,-1) C. (-1,3) D. (1,-3)
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,BC=10cm,AD=8cm,E點F點分別為AB,AC的中點.
(1)求證:四邊形AEDF是菱形;
(2)求菱形AEDF的面積;
(3)若H從F點出發(fā),在線段FE上以每秒2cm的速度向E點運動,點P從B點出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向C點運動,問當t為何值時,四邊形BPHE是平行四邊形?當t取何值時,四邊形PCFH是平行四邊形?
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【題目】如圖,正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,點E是BC的中點,AE交BD于點F,BH⊥AE于點G,連接OG,則下列結論中①OF=OH,②△AOF∽△BGF,③tan∠GOH=2,④FG+CH=GO,正確的個數(shù)是( 。
A. 1B. 2C. 3D. 4
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