Question

1．如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC=$\sqrt{5}$
（1）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，請你分別寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)且以C為頂點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若D為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為何值時(shí)，S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；在直角△OAC中，利用勾股定理來求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)閷ΨQ軸是y軸，故設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+b．把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，借用方程組求得系數(shù)的值即可；
（3）△ABD與△ABC是同底等高的兩個(gè)三角形，由此求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分線為y軸，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴A的坐標(biāo)是（-1，0），B的坐標(biāo)是（1，0）．
在直角△OAC中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=2，
則C的坐標(biāo)是：（0，2）；

（2）設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+b．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是：y=-2x²+2；

（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=1．
設(shè)D的縱坐標(biāo)是m，則$\frac{1}{2}$AB•|m|=1，
則m=±1．
當(dāng)m=1時(shí)，-2x²+2=1，解得：x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)m=-1時(shí)，-2x²+2=-1，解得：x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則D的坐標(biāo)是：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）或（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1），或（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，需要綜合利用等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積公式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合性比較強(qiáng)，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．