(2013•江寧區(qū)一模)已知:如圖,△ABC中,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,且D為AC的中點(diǎn),過D作DE丄CB,垂足為E.
(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)已知CD=4,CE=3,求⊙O的半徑.
分析:(1)利用切線的判定得出∠ODE=90°,進(jìn)而求出DE是⊙O的切線,
(2)利用常作的一條輔助線,即“見切點(diǎn),連半徑,得垂直”,然后再把要證的垂直與已有的垂直進(jìn)行聯(lián)系,即可得出證法,利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可.
解答:(1)證明:連接OD,
∵D為AC的中點(diǎn),O為AB的中點(diǎn),
∴DO∥BC,
∵DE丄CB,
∴DE⊥OD,
∴∠ODE=90°,
∴直線DE是⊙O的切線;

(2)解:連接BD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AC,
∴∠BDC=90°,
又∵DE⊥BC,
Rt△CDB∽R(shí)t△CED,
BC
DC
=
DC
CE

∴BC=
DC2
CE
=
42
3
=
16
3
,
又∵OD=
1
2
BC,
∴OD=
1
2
×
16
3
=
8
3
,
即⊙O的半徑為
8
3
點(diǎn)評:此題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、垂直的判定、圓周角的性質(zhì)、三角形相似等知識(shí),熟練作出正確輔助線是解題關(guān)鍵.
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-3
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-
6
2
-(
3
-1)0

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2x-
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3

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