Question

7．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是$\widehat{AE}$ 的中點，OM交AC于點D，BC=2$\sqrt{3}$，∠BOE=60°，∠C=60°．
（1）求∠A的度數；   
（2）求證：BC是⊙O的切線；   
（3）求MD的長度．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理計算；
（2）根據三角形內角和定理求出∠ABC=90°，根據切線的判定定理證明；
（3）根據垂徑定理得到OM⊥AE，求出圓的半徑，計算即可．

解答 （1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOE=30°；
（2）證明：在△ABC中，∵∠C=60°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵OB為⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（3）解：∵點M是 AE 的中點，
∴OM⊥AE，
在Rt△ABC中，BC=2$\sqrt{3}$，∠A=30°，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=6，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴MD=OM-OD=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定、垂徑定理的應用、銳角三角函數的定義，掌握切線的判定定理是解題的關鍵．