【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,過點(diǎn)B作⊙O的切線BD,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作⊙O的切線AF,與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC=,求DE的長(zhǎng);
(3)連接EF,求證:EF是⊙O的切線.
【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=60°根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)S△AOC=,得到S△ACF=,通過△ACF∽△DAE,求得S△DAE=,過A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到∠AFO=∠GFO,過O作OG⊥EF于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OG=OA,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)證明:∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°
∵OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AF是⊙O的切線,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DE是⊙O的切線,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE;
(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵S△AOC=,∴S△ACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴S△DAE=,過A作AH⊥DE于H,∴AH=DH=DE,∴S△ADE=DEAH=×=,∴DE=;
(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFO,在△AOF與△BOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFO,OA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,過O作OG⊥EF于G,∴∠OAF=∠OGF=90°,在△AOF與△OGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFO,OF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EF是⊙O的切線.
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形ABCO是矩形,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別是A(0,2)和C(2,0),點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合),連結(jié)BD,作DE⊥DB,交x軸于點(diǎn)E,以線段DE,DB為鄰邊作矩形BDEF.
(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)是否存在這樣的點(diǎn)D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)①求證:;
②設(shè)AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用①的結(jié)論),并求出y的最小值.
【答案】(1)(2,2);(2)存在.理由見解析;(3)①見解析;②y=x2﹣2x+4, y有最小值.
【解析】試題分析:(1)求出AB、BC的長(zhǎng)即可解決問題;
(2)存在.連接BE,取BE的中點(diǎn)K,連接DK、KC.首先證明B、D、E、C四點(diǎn)共圓,可得∠DBC=∠DCE,∠EDC=∠EBC,由tan∠ACO==,推出∠ACO=30°,∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形,觀察圖象可知,只有ED=EC,推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°,推出∠DBC=∠BCD=60°,可得△DBC是等邊三角形,推出DC=BC=2,由此即可解決問題;
(3)①由(2)可知,B、D、E、C四點(diǎn)共圓,推出∠DBC=∠DCE=30°,由此即可解決問題;
②作DH⊥AB于H.想辦法用x表示BD、DE的長(zhǎng),構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題;
試題解析:(1)∵四邊形AOCB是矩形,∴BC=OA=2,OC=AB=,∠BCO=∠BAO=90°,∴B(,2).
故答案為:(,2).
(2)存在.理由如下:
連接BE,取BE的中點(diǎn)K,連接DK、KC.
∵∠BDE=∠BCE=90°,∴KD=KB=KE=KC,∴B、D、E、C四點(diǎn)共圓,∴∠DBC=∠DCE,∠EDC=∠EBC,∵tan∠ACO==,∴∠ACO=30°,∠ACB=60°
①如圖1中,△DEC是等腰三角形,觀察圖象可知,只有ED=EC,∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°,∴∠DBC=∠BCD=60°,∴△DBC是等邊三角形,∴DC=BC=2,在Rt△AOC中,∵∠ACO=30°,OA=2,∴AC=2AO=4,∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2,∴當(dāng)AD=2時(shí),△DEC是等腰三角形.
②如圖2中,∵△DCE是等腰三角形,易知CD=CE,∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴AB=AD=.
綜上所述,滿足條件的AD的值為2或.
(3)①由(2)可知,B、D、E、C四點(diǎn)共圓,∴∠DBC=∠DCE=30°,∴tan∠DBE=,∴=.
②如圖2中,作DH⊥AB于H.
在Rt△ADH中,∵AD=x,∠DAH=∠ACO=30°,∴DH=AD=x,AH==,∴BH=,在Rt△BDH中,BD==,∴DE=BD=,∴矩形BDEF的面積為y= =,即,∴,∵>0,∴當(dāng)x=3時(shí),y有最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,AD⊥EF于點(diǎn)D,∠DAC=∠BAC.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,∠ACD=30°,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,直線y=k1x+1與雙曲線y=相交于P(1,m),Q(-2,-1)兩點(diǎn).
(1)求m的值;
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)為雙曲線上三點(diǎn),且x1<x2<0<x3,請(qǐng)直接說明y1,y2,y3的大小關(guān)系;
(3)觀察圖象,請(qǐng)直接寫出不等式k1x+1>的解集.
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【題目】如圖,已知∠E=∠F,∠B=∠C,AE=AF,結(jié)論:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正確的有( 。
A. 1個(gè)B. 2個(gè)
C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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【題目】某商家將一種電視機(jī)按進(jìn)價(jià)提高35%后定價(jià),然后打出“九折酬賓,外送50元出租車費(fèi)”的廣告,結(jié)果每臺(tái)電視機(jī)獲利208元.
(1)求每臺(tái)電視機(jī)的進(jìn)價(jià);
(2)另有一家商家出售同類產(chǎn)品,按進(jìn)價(jià)提高40%,然后打出“八折酬賓”的廣告,如果你想買這種產(chǎn)品,應(yīng)選擇哪一個(gè)商家?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形分成9個(gè)完全相同的小正方形,把最中間的一個(gè)小正方形涂成白色(圖①),再對(duì)其他8個(gè)小正方形作同樣的分割(分成9個(gè)完全相同的小正方形,把最中間的一個(gè)小正方形涂成白色(圖②),繼續(xù)同樣的方法分割圖形(圖③),…得到一些既復(fù)雜又漂亮的圖形,它的每一部分放大,都和整體一模一樣,它是波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基構(gòu)造的,也被稱為“謝爾賓斯基地毯”.求:
(1)圖③中最新的一個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng);
(2)圖③中所有涂黑部分的面積.
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【題目】如圖,直線l上有一點(diǎn)P1(2,1),將點(diǎn)P1先向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位得到像點(diǎn)P2,點(diǎn)P2恰好在直線l上.
(1)寫出點(diǎn)P2的坐標(biāo);
(2)求直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式;
(3)若將點(diǎn)P2先向右平移3個(gè)單位,再向上平移6個(gè)單位得到像點(diǎn)P3.請(qǐng)判斷點(diǎn)P3是否在直線l上,并說明理由.
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【題目】大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和.如23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,若m3“分裂”后,其中有一個(gè)奇數(shù)是347,則m的值是_____.
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【題目】長(zhǎng)沙市馬王堆蔬菜批發(fā)市場(chǎng)某批發(fā)商原計(jì)劃以每千克10元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售某種蔬菜為了加快銷售,該批發(fā)商對(duì)價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后,售價(jià)降為每千克元.
求平均每次下調(diào)的百分率;
某大型超市準(zhǔn)備到該批發(fā)商處購(gòu)買2噸該蔬菜,因數(shù)量較多,該批發(fā)商決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇方案一:打八折銷售;方案二:不打折,每噸優(yōu)惠現(xiàn)金1000元試問超市采購(gòu)員選擇哪種方案更優(yōu)惠?請(qǐng)說明理由.
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