Question

22.如圖，將□ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，

   交BC于點(diǎn)F．

  ⑴求證：△ABF≌△ECF;

  ⑵若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

 

Answer 1

證明：⑴∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.

∵EC=DC, ∴AB=EC．                                       

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴△ABF≌△ECF．                                            

（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，

∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF=EF， BF=CF．           

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D，

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．

∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴□ABEC是矩形．                 

解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，

∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．

又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．

∴□ABEC是矩形．