Question

【題目】如圖，△在ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和N，再分別以M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，給出下列說(shuō)法：①DM=DN；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線(xiàn)上；④S△DAC:S△ABC=1:3，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，再根據(jù)全等三角形的判定定理，垂直平分線(xiàn)的判定方法，含30°的直角三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得正確選項(xiàng).

解：①如圖，連接DM，DN，

根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，則∠MAD=∠NAD,AM=AN,AD=AD,由SAS易證△ADM≌△AND，則DM=DN，故①正確；

②∠C=90°，∠B=30°，則∠BAC=60°, 由作圖知AD是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠DAC=30°, ∠ADC=60°,故②正確；

③由②可得∠DAB=30°=∠B，所以AD=BD，所以點(diǎn)D在AB的中垂線(xiàn)上，故③正確；

④∠C=90°，∠DAC =30°，所以AD=2CD，又AD=BD，所以BC=3CD，所以S△DAC:S△ABC=1:3，故④正確；

故選D