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【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx+c經過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC//x軸,點P是直線AC下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標;
(3)當點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵點A(0,1).B(﹣9,10)在拋物線上,

,

∴拋物線的解析式為y= x2+2x+1


(2)

解:∵AC//x軸,A(0,1)

x2+2x+1=1,

∴x1=﹣6,x2=0,

∴點C的坐標(﹣6,1),

∵點A(0,1).B(﹣9,10),

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,

設點P(m, m2+2m+1)

∴E(m,﹣m+1)

∴PE=﹣m+1﹣( m2+2m+1)=﹣ m2﹣3m,

∵AC⊥EP,AC=6,

∴S四邊形AECP

=S△AEC+S△APC

= AC×EF+ AC×PF

= AC×(EF+PF)

= AC×PE

= ×6×(﹣ m2﹣3m)

=﹣m2﹣9m

=﹣(m+ 2+

∵﹣6<m<0

∴當m=﹣ 時,四邊形AECP的面積的最大值是 ,

此時點P(﹣ ,﹣


(3)

解:∵y= x2+2x+1= (x+3)2﹣2,

∴P(﹣3,﹣2),

∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,

∴PF=CF,

∴∠PCF=45°

同理可得:∠EAF=45°,

∴∠PCF=∠EAF,

∴在直線AC上存在滿足條件的Q,

設Q(t,1)且AB=9 ,AC=6,CP=3

∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,

①當△CPQ∽△ABC時,

,

∴t=﹣4或t=﹣8(不符合題意,舍)

∴Q(﹣4,1)

②當△CQP∽△ABC時,

,

,

∴t=3或t=﹣15(不符合題意,舍)

∴Q(3,1)


【解析】(1)用待定系數法求出拋物線解析式即可;(2)設點P(m, m2+2m+1),表示出PE=﹣ m2﹣3m,再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE,建立函數關系式,求出極值即可;(3)先判斷出PF=CF,再得到∠PCA=∠EAC,以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況計算即可.
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的應用,掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構造相似三角形求解即可以解答此題.

練習冊系列答案
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A.
B.1
C.2
D.2

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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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B.2π
C.
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證明:如圖,設AM,BN交于點O,過點O分別作OD⊥BC,OF⊥AB,垂足分別為點D,E,F(xiàn).

∵O∠BAC角平分線AM上的一點( ),

∴OE=OF( )

同理,OD=OF.

∴OD=OE( )

∵CP∠ACB的平分線( )

∴OCP( )

因此,AM,BN,CP交于一點.

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甲林場

乙林場

購樹苗數量

銷售單價

購樹苗數量

銷售單價

不超過1000棵時

4元/棵

不超過2000棵時

4元/棵

超過1000棵的部分

3.8元/棵

超過2000棵的部分

3.6元/棵

設購買白楊樹苗x棵,到兩家林場購買所需費用分別為y(元)、y(元).
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(2)分別求出y、y與x之間的函數關系式;
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③乙車間維修設備后,乙車間加工零件數量yx之間的函數關系式y=60x﹣120;

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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