【題目】如圖,已知等邊△ABC,以AB為直徑的圓與BC邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F,過點(diǎn)F作FG⊥AB,垂足為G,連結(jié)GD.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若AB=12,求FG的長;
(3)在(2)問條件下,求點(diǎn)D到FG的距離.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)連接OD,證明OD∥AC,易得OD⊥DF;
(2)先求出CD的長,再利用△CDF是30°的直角三角形可求出CF的長,同理可利用△FGA中∠A的三角函數(shù)可求得FG的長;
(3)過D作DH⊥AB于H,利用△BDH是30°的直角三角形可求出BH的長,同理可求得AG,然后根據(jù)GH=AB-AG-BH求得即可.
(1)證明:連結(jié)OD,如圖1,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠C=∠A=∠B=60°.
而OD=OB,
∴△ODB是等邊三角形,∠ODB=60°,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切線.
(2)解:∵OD∥AC,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),
∴OD為△ABC的中位線.
∴BD=CD=6.
在Rt△CDF中,∠C=60°,
∴∠CDF=30°,
∴CF=CD=3.
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9,
在Rt△AFG中,∵∠A=60°,
∴FG=AF×sinA=9×=.
(3)解:如圖2,過D作DH⊥AB于H.
∵FG⊥AB,DH⊥AB,
∴FG∥DH,
在Rt△BDH中,∠B=60°,
∴∠BDH=30°,
∴BH=BD=3,
在Rt△AFG中,∵∠AFG=30°,
∴AG=AF=,
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=,
∴點(diǎn)D到FG的距離是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,0).
(1)寫出拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)在拋物線上,若x1<x2<1,比較y1,y2的大;
(3)點(diǎn)B(﹣1,2)在該拋物線上,點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,求直線AC的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過點(diǎn)Q作QO⊥BD,垂足為O,連接OA、OP.
(1)請直接寫出線段BC在平移過程中,四邊形APQD是什么四邊形?
(2)請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明;
(3)在平移變換過程中,設(shè)y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E在線段CD上,且∠ACD=∠B=∠BAE.
(1)求證:;
(2)當(dāng)點(diǎn)E為CD中點(diǎn)時,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)C為線段AB的中點(diǎn),四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形.以B為圓心,BD長為半徑的⊙B與AB相交于F點(diǎn),延長EB交⊙B于G點(diǎn),連接DG交于AB于Q點(diǎn),連接AD.
求證:(1)AD是⊙B的切線;(2)AD=AQ;(3)BC2=CFEG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),且,,若P,Q為某個矩形的兩個頂點(diǎn),且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直,則稱該矩形為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q 的“相關(guān)矩形”的示意圖.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1)求點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積;
②點(diǎn)C在直線x=3上,若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達(dá)式;
(2)⊙O的半徑為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,3).若在⊙O上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△AOB的位置如圖所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,1).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B1,求△AB1B的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀:已知△ABC,用直尺與圓規(guī),在直線BC上方的平面內(nèi)作一點(diǎn)M(不與點(diǎn)A重合),使∠BMC=∠BAC(如圖1).
小明利用“同弧所對的圓周角相等”這條性質(zhì)解決了這個問題,下面是他的作圖過程:
第一步:分別作AB、BC的中垂線(虛線部分),設(shè)交點(diǎn)為O;
第二步:以O為圓心,OA為半徑畫圓(即△ABC的外接圓)
第三步:在弦BC上方的弧上(異于A點(diǎn))取一點(diǎn)M,連結(jié)MB、MC,則∠BMC=∠BAC.(如圖2)
思考:如圖2,在矩形ABCD中,BC=6,CD=10,E是CD上一點(diǎn),DE=2.
(1)請利用小明上面操作所獲得的經(jīng)驗(yàn),在矩形ABCD內(nèi)部用直尺與圓規(guī)作出一點(diǎn)P.點(diǎn)P滿足:∠BPC=∠BEC,且PB=PC.(要求:用直尺與圓規(guī)作出點(diǎn)P,保留作圖痕跡.)
(2)求PC的長.
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