Question

【題目】如圖，點M（﹣3，m）是一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象的一個交點．

（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式
（2）點P是x軸正半軸上的一個動點，設(shè)OP=a（a≠2），過點P作垂直于x軸的直線，分別交一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象于點A，B，過OP的中點Q作x軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點C，△ABC′與△ABC關(guān)于直線AB對稱．
①當(dāng)a=4時，求△ABC′的面積；
②當(dāng)a的值為 3　時，△AMC與△AMC′的面積相等。

Answer 1

【答案】
（1）

解：把M（﹣3，m）代入y=x+1，則m=﹣2．

將（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，則反比例函數(shù)解析式是：y=

（2）

解：①連接CC′交AB于點D．則AB垂直平分CC′，

當(dāng)a=4時，A（4，5），B（4，1.5），則AB=3.5．

∵點Q為OP的中點，

∴Q（2，0），

∴C（2，3），則D（4，3），

∴CD=2，

∴S△ABC=ABCD=×3.5×2=3.5，則S△ABC′=3.5；

②∵△AMC與△AMC′的面積相等，

∴C和C′到直線MA的距離相等，

∴C、A、C′三點共線，

∴AP=CQ=，

又∵AP=PN，

∴=a+1，解得a=3或a=﹣4（舍去），

∴當(dāng)a的值為3時，△AMC與△AMC′的面積相等．

故答案是：3．

【解析】（1）由一次函數(shù)解析式可得點M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），然后把點M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得k的值，可得反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）①連接CC′交AB于點D．由軸對稱的性質(zhì)，可知AB垂直平分OC′，當(dāng)a=4時，利用函數(shù)解析式可分別求出點A、B、C、D的坐標(biāo)，于是可得AB和CD的長度，即可求得△ABC的面積；
②由題意得點C的坐標(biāo)為（，），則C′（，），根據(jù)△AMC與△AMC′的面積相等得出C和C′到直線MA的距離相等，得出C、A、C′三點共線，進(jìn)而求解．