Question

【題目】如圖，PB切⊙O于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥PE交⊙O于點(diǎn)A，聯(lián)結(jié)AP，AE．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）如果OD=3，tan∠AEP= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結(jié)OA，OB，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PE于點(diǎn)D，

∴∠POA=∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PA⊥OA，

∴直線PA為⊙O的切線

（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，

∵tan∠AEP= = ，

∴設(shè)AD=x，DE=2x，

∴OE=2x﹣3．

在Rt△AOD中，由勾股定理，得

（2x﹣3）2=x2+32，

解得x1=4，x2=0（不合題意，舍去），

∴AD=4，OA=OE=2x﹣3=5，

即⊙O的半徑的長(zhǎng)5．

【解析】（1）連接OA、OB，根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)tan∠AEP= 得出 = ，設(shè)AD=x，DE=2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，進(jìn)而就可求得⊙O的半徑．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用勾股定理的概念和切線的判定定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．