Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，拋物線y=ax2﹣ x+c過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，﹣2）

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為拋物線在第四象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形BMAC面積的最大值；
（3）點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，規(guī)定：d=|AD﹣BD|，探究d是否存在最大值？若存在，請(qǐng)直接寫出d的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）、點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），

∵拋物線y=ax2﹣ x+c過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，﹣2）．

∴ ，解得： ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2；

（2）

解：如圖1所示，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線y=﹣ x+4于點(diǎn)N．

設(shè)點(diǎn)M（x， x2﹣ x﹣2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，﹣ x+4）．

∵M(jìn)N∥BC，

∴MN和BC間的距離為x，MN=（﹣ x+4）﹣（ x2﹣ x﹣2）=6﹣ x2，點(diǎn)A到MN的距離d=3﹣x，則四邊形BMNC的面積S1= （BC+MN）x=6x﹣ x3，

△ANM的面積S2= MN（3﹣x）= x3﹣x2﹣3x+9，

∴四邊形BMAC的面積S=S1+S2=6x﹣ x3+ x3﹣x2﹣3x+9=﹣x2+3x+9=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵0＜x＜3，

∴當(dāng)x= 時(shí)，四邊形BMAC面積的最大值為 ．

（3）

解：如圖2所示：記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．

∵拋物線的對(duì)稱為x=﹣ =1，A（3，0），

∴E（﹣1，0）．

∴OE=1，EF=2．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴ED=AD．

∴d=|AD﹣BD|=|ED﹣BD|．

∵當(dāng)點(diǎn)E、B、D不在同一條直線上時(shí)，d=|ED﹣BD|＜BE，當(dāng)點(diǎn)E、B、D在同一條直線上時(shí)，d=|ED﹣BD|=BE，

∴d的最大值=BE= = ．

∵OB∥DF，

∴△EOB∽△EFD．

∴ = ，即 = ，解得：DF=4．

∴D（1，﹣4）．

【解析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出點(diǎn)A、C坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M（x， x2﹣ x﹣2），過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線y=﹣ x+4于點(diǎn)N，先求出四邊形BMNC的面積S1= （BC+MN）x=6x﹣ x3 ， △ANM的面積S2= MN（3﹣x）= x3﹣x2﹣3x+9，根據(jù)四邊形BMAC的面積S=S1+S2得到四邊形的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用配方法求解即可；（3）記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，當(dāng)點(diǎn)E、B、D在同一條直線上時(shí)，d有最大值，然后證明△EOB∽△EFD，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得DF的長(zhǎng)，從而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．