【題目】如圖,四邊形OABC是邊長為4的正方形,點P為OA邊上任意一點(與點O、A不重合),連接CP,過點P作PM⊥CP交AB于點D,且PM=CP,過點M作MN∥AO,交BO于點N,連結ND、BM,設OP=t.
(1)求點M的坐標(用含t的代數(shù)式表示);
(2)試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變?并說明理由.
(3)當t為何值時,四邊形BNDM的面積最。
(4)在x軸正半軸上存在點Q,使得△QMN是等腰三角形,請直接寫出不少于4個符合條件的點Q的坐標(用含t的式子表示).
【答案】
(1)
解:如圖1所示,作ME⊥OA于點E,
∴∠MEP=∠POC=90°,
∵PM⊥CP,
∴∠CPM=90°,
∴∠OPC+∠MPE=90°,
又∵∠OPC+∠PCO=90°,
∴∠MPE=∠PCO,
∵PM=CP,
∴△MPE≌△PCO(AAS),
∴PE=CO=4,ME=PO=t,
∴OE=4+t,
∴點M的坐標為(4+t,t)(0<t<4)
(2)
解:線段MN長度不變,
理由:∵OA=AB=4,
∴點B(4,4),
∴直線OB的解析式為:y=x,
∵點N在直線OB上,MN∥OA,M(4+t,t),
∴點N(t,t),
∵MN∥OA,M(4+t,t),
∴MN=|(4+t)﹣t|=4,
即MN的長度不變
(3)
解:由(1)知,∠MPE=∠PCO,
又∵∠DAP=∠POC=90°,
∴△DAP∽△POC,
∴ ,
∵OP=t,OC=4,
∴AP=4﹣t,
∴ ,得AD= ,
∴BD=4﹣ = ,
∵MN∥OA,AB⊥OA,
∴MN⊥BD,
∵ = = ,
∴當t=2時,四邊形BNDM的面積最小,最小值6
(4)
解:在x軸正半軸上存在點Q,使得△QMN是等腰三角形,此時點Q的坐標為:Q1(t+2,0),Q2(4+t﹣ ,0),Q3(4+t+ ,0)Q4(t+ ,0)其中(0<t<4),Q5(t﹣ ,0)
理由:當(2)可知,OP=t(0<t<4),MN=PE=4,MN∥x軸,所以共分為以下幾種請:
第一種情況:當MN為底邊時,作MN的垂直平分線,與x軸的交點為Q1,如圖2所示
=2,
∴OQ1=t+2,
∴Q1(t+2,0)
第二種情況:如圖3所示,當MN為腰時,以M為圓心,MN的長為半徑畫弧交x軸于點Q2、Q3,連接MQ2、MQ3,則MQ2=MQ3=4,
∴Q2E= ,
∴OQ2=OE﹣Q2E=4+t﹣ ,
∴Q2(4+t﹣ ,0),
∵Q3E=Q2E,
∵OQ3=OE+Q3E=4+t+ ,
∴Q3(4+t+ ,0);
第三種情況,當MN為腰時,以N為圓心,MN長為半徑畫圓弧交x軸正半軸于點Q4,
當0<t<2 時,如圖4所示,
則PQ4= = ,
∴OQ4=OP+PQ4=t+ ,
即Q4( ,0).
當t=2 時,
則ON=4,此時Q點與O點重合,舍去;
當2 <t<4時,如圖5,以N為圓心,MN為半徑畫弧,與x軸的交點為Q4,Q5.
Q4的坐標為:Q4( ,0).
OQ5=t﹣ ,
∴Q5(t﹣ ,0)
所以,綜上所述,當0<t<4時,在x軸的正半軸上存在5個點Q,分別為Q1(t+2,0),Q2(4+t﹣ ,0),Q3(4+t+ ,0)Q4(t+ ,0),Q5(t﹣ ,0)使△QMN是等腰三角形
【解析】(1)作ME⊥OA于點E,要求點M的坐標只要證明△OPC≌△EM即可,根據(jù)題目中的條件可證明兩個三角形全等,從而可以得到點M的坐標;(2)首先判斷是否變化,然后針對判斷結合題目中的條件說明理由即可解答本題;(3)要求t為何值時,四邊形BNDM的面積最小,只要用含t的代數(shù)式表示出四邊形的面積,然后化為頂點式即可解答本題;(4)首先寫出符合要求的點Q的坐標,然后根據(jù)寫出的點的坐標寫出推導過程即可解答本題.本題考查四邊形綜合題,解題的關鍵是明確題意,畫出相應的圖象,找出所求問題需要的條件,利用數(shù)形結合的思想解答問題.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關知識,掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分線上一點,CP∥OB,交OA于點C,PD⊥OB,垂足為點D,且PC=4,則PD等于( )
A.1
B.2
C.4
D.8
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC的中點為O,過點O作OE⊥BC于點E,連接OD,已知AB=6,BC=8,則四邊形OECD的周長為 .
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【題目】如圖在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是AB的中點,過點D作DE⊥AC于點E,
求:(1)△ABC的面積;
(2)DE的長?
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【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D在邊BC上,DE∥AB交AC于E,延長DE至點F,使EF=AE,聯(lián)結AF、BE和CF.
(1)求證:△EDC是等邊三角形;
(2)找出圖中所有的全等三角形,用符號“≌”表示,并對其中的一組加以證明;
(3)若BE⊥AC,試說明點D在BC上的位置.
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【題目】如圖所示:要設計一副寬20厘米、長30厘米的矩形圖案,其中有兩橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比為2:3,如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的,那么橫彩條的寬度為多少厘米,豎彩條的寬度為多少厘米?
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【題目】直線n與過原點的直線m交于點P,P點的坐標如圖所示,直線n與y軸交于點A;若OA=OP;
(1)求A點的坐標;
(2)求直線m,n的函數(shù)表達式;
(3)求△AOP的面積.
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【題目】有公路l1同側、l2異側的兩個城鎮(zhèn)A,B,如下圖.電信部門要修建一座信號發(fā)射塔,按照設計要求,發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等,到兩條公路l1,l2的距離也必須相等,發(fā)射塔C應修建在什么位置?請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點,注明點C的位置.(保留作圖痕跡,不要求寫出畫法)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣2,0)、B(1,0),直線x=﹣0.5與此拋物線交于點C,與x軸交于點M,在直線上取點D,使MD=MC,連接AC、BC、AD、BD,某同學根據(jù)圖象寫出下列結論:
①a﹣b=0;
②當﹣2<x<1時,y>0;
③四邊形ACBD是菱形;
④9a﹣3b+c>0
你認為其中正確的是( )
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
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