Question

【題目】如圖，已知∠MON＝90°，點(diǎn)A在射線OM上運(yùn)動，點(diǎn)B在射線ON上運(yùn)動，OA＞OB，點(diǎn)P在∠MON的平分線上，PA＝PB．

（1）∠APB的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

（2）連接AB，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是OP的中點(diǎn)，求證：EF⊥OP．

Answer 1

【答案】（1）∠APB的大小不會變化，理由見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，由角平分線的性質(zhì)可得PC＝PD，由“HL”可證Rt△ACP≌Rt△BDP，可得∠APC＝∠BPD，可求∠APB＝90°；

（2）由直角三角形的性質(zhì)可得OE＝PE＝AB，由等腰三角形的性質(zhì)可得EF⊥OP．

解：（1）∠APB的大小不會變化，

理由如下：如圖，過點(diǎn)P作PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，連接OE，PE，EF，

∵PC⊥AO，PD⊥OB，∠MON＝90°，

∴四邊形CPDO是矩形，

∴∠CPD＝90°，

∵點(diǎn)P在∠MON的平分線上，PC⊥AO，PD⊥OB，

∴PC＝PD，且PA＝PB，

∴Rt△ACP≌Rt△BDP（HL）

∴∠APC＝∠BPD，

∵∠BPC+∠BPD＝90°，

∴∠BPC+∠APC＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴∠APB的大小不會變化．

（2）∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠AOB＝∠APB＝90°，

∴OE＝AB，PE＝AB，

∴OE＝PE，且點(diǎn)F是OP的中點(diǎn)，

∴EF⊥OP