Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠A是銳角，E為邊AD上一點(diǎn)，△ABE沿著BE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊CD上，連接EF，BF．

（1）若∠A=70°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABF的度數(shù)．

（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，

①求sinA的值；

②求證：S△ABE=SABCD．

（3）設(shè)=k， =m，試用含k的代數(shù)式表示m．

Answer 1

【答案】（1）∠ABF =70°；（2）①sinA=；②證明見(jiàn)解析；（3）m= .

【解析】

（1）如圖1中，由四邊形ABCD是菱形，可得AB∥CD，∠C=∠A=70°，根據(jù)BA=BF=BC，可得∠BFC=∠C=70°，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求得∠ABF=∠BFC=70°；

（2）①如圖2中，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，作BG⊥CD于G，由BC=BA=BF，繼而可得cosA=cos∠BCG=，由此即可求得sinA=sin∠BCG=；

②由已知條件可得到△DEF≌△CMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EF=FM，繼而可推導(dǎo)得出S△ABE=SABCD；

（3）如圖3中，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，先證明△MFC∽△MBF，可得FM2=MCMB，再根據(jù)AD∥MB，可得△DEF∽△CMF從而可得=m，由=k，可得DE=ka，AE=EF=（1﹣k）a，CM=，F(xiàn)M=，繼而得[]2=（a+），可得出m=．

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，∠C=∠A=70°，

∵BA=BF=BC，

∴∠BFC=∠C=70°，

∴∠ABF=∠BFC=70°；

（2）①如圖2中，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，作BG⊥CD于G．

∵BC=BA=BF，

∴CG=GF=CD=BC，

∴cosA=cos∠BCG=，

∴sinA=sin∠BCG=；

②∵四邊形ABCD是菱形，F是CD中點(diǎn)，

∴DF=CF，∠D=∠FCM，∠EFD=∠MFC，

∴△DEF≌△CMF，

∴EF=FM，

∴S四邊形BCDE=S△EMB，S△BEF=S△MBE，

∴S△ABE=SABCD；

（3）如圖3中，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a．

∵∠A=∠BFE=∠BCD，

∴∠MFC=∠DFE=∠FBC，∵∠M=∠M，

∴△MFC∽△MBF，

∴FM2=MCMB，

∵AD∥MB，

∴△DEF∽△CMF，

∴=m，

∵=k，

∴DE=ka，AE=EF=（1﹣k）a，CM=，F(xiàn)M=，

∴[]2=（a+），

∴m=．