Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x﹣1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，在第二象限內(nèi)有一邊長(zhǎng)為2的正方形CDEF，已知C（﹣1，1），若動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿著正方形CDEF的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周（到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）是否存在t，使得以P為圓心，為半徑的圓與直線AB相切？若存在，求出所有t的值；若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線AB以每秒1個(gè)單位的速度向右作勻速運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)P同時(shí)停止）是否存在t，使得以P為圓心，為半徑的圓與平移后的直線A′B′相切？請(qǐng)直接寫(xiě)出所有t的值．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的t的值為1或4．（2）滿足條件的t的值為或或．

【解析】

(1) 設(shè)存在點(diǎn)P．作PH⊥AB，PM⊥x軸交AB于Q,可證△PHQ∽△AOB，可得PQ=，分點(diǎn)P在CD上時(shí)，與當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)討論，可得t的值；

（2）由題意平移后可得直線A′B′的解析式為，作PH⊥A′B′，PM⊥x軸交A′B′于Q．當(dāng)PH=時(shí)，同法可得PQ=，分①當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，

③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，三種情況討論，可的t的值.

解：（1）假設(shè)存在點(diǎn)P．作PH⊥AB，PM⊥x軸交AB于Q．

∵PQ∥y軸，

∴∠OBA=∠PQH，

∵∠AOB=∠PHQ=Rt∠，

∴△PHQ∽△AOB，

∴=，

∵A（﹣1，2）或（﹣3，3），PH=，

∴AO=2，AB=，

∴PQ=，

①當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，t+1+=，解得t=1，

②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，3﹣[﹣（1﹣t）﹣1]=，解得t=4，此時(shí)點(diǎn)P與E重合．

綜上所述，滿足條件的t的值為1或4．

（2）由題意平移后的直線A′B′的解析式為y=﹣x﹣1+，

作PH⊥A′B′，PM⊥x軸交A′B′于Q．

當(dāng)PH=時(shí)，同法可得PQ=，

①當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，1+t﹣（﹣1+）=，解得t=，

②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，3﹣[﹣（1﹣t）﹣1+]=，解得t=，

③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，﹣1+﹣（6﹣t+1）=，解得t=，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或．