Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D（2，4），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC，CD，BC， 其且AC=5．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖②，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，l分別交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．當(dāng)0<m≤2時，過點(diǎn)M作MG∥BC，MG交x軸于點(diǎn)G，連接GC，則m為何值時，△GMC的面積取得最大值，并求出這個最大值；

（3）當(dāng)-1<m≤2時，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出相應(yīng)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）當(dāng)m=時，S最大，即S最大=2；（3）2或

【解析】

（1）先通過勾股定理求的點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；

（2）由A、C坐標(biāo)可求得直線AC解析式，再用m表示出點(diǎn)M坐標(biāo)，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面積的和差可得到△GMC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）分∠CPM＝90°和∠PCM＝90°兩種情況，當(dāng)∠CPM＝90°時，可得PC∥x軸，容易求得P點(diǎn)坐標(biāo)和m的值；當(dāng)∠PCM＝90°時，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)F，可利用相似三角形的性質(zhì)先求得F點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線CF的解析式，再聯(lián)立拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的m的值．

解（1）∵點(diǎn)C（0，4），

∴OC＝4，

∵AC＝5，

∴在Rt△AOC中，∠AOC＝90°

OA＝

∴ A（3，0）

將A（3，0）、C（0，4）D（2，4）代入拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中

得 ，

解得，

∴拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4；

（2）由A（3，0），C（0，4）可得直線AC解析式為y＝－x＋4，

∴M坐標(biāo)為（m，－m＋4），

∵M(jìn)G∥BC，

∴∠CBO＝∠MGE，且∠COB＝∠MEG＝90°，

∴△BCO∽△GME，

∴，即，

∴GE＝－m＋1，

∴OG＝OE－GE＝m－1

∴

，

∴當(dāng)m＝時，S最大，即S最大＝2；

（3）根據(jù)題意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC＝∠AME為銳角，

∴△PCM的直角頂點(diǎn)可能是P或C，

第一種情況：當(dāng)∠CMPM＝90°時，如圖，

則CP∥x軸，此時點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，

∴點(diǎn)P（2，4），此時m＝2；

第二種情況：當(dāng)∠PCM＝90°時，如圖，

如圖，延長PC交x軸于點(diǎn)F，由△FCA∽△COA，得，

∴AF＝，

∴OF＝，

∴F（－，0），

∴直線CF的解析式為y＝x＋4，

聯(lián)立直線CF和拋物線解析式可得，

解得，，

∴P坐標(biāo)為（，），此時m＝；

綜上可知存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，其值為2或