Question

【題目】（12分）閱讀資料：

如圖1，在平面之間坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=．

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，當(dāng)⊙O的半徑為r時，⊙O的方程可寫為：x2+y2=r2．

問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為 ．

綜合應(yīng)用：

如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB．

①證明AB是⊙P的切點(diǎn)；

②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】問題拓展：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2綜合應(yīng)用：①見解析②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．

【解析】

試題問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，則有AP=r，根據(jù)閱讀材料中的兩點(diǎn)之間距離公式即可求出⊙P的方程；

綜合應(yīng)用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，從而可證到△POB≌△PAB，則有∠POB=∠PAB．由⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切線；

②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易證∠OBP=∠POA，則有tan∠OBP==．由P點(diǎn)坐標(biāo)可求出OP、OB．過點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，易證△BHQ∽△BOP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出QH、BH，進(jìn)而求出OH，就可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后運(yùn)用問題拓展中的結(jié)論就可解決問題．

試題解析：解：問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，

∵P（a，b），半徑為r，

∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．

故答案為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；

綜合應(yīng)用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中，

，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB．

∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，

∴∠POB=90°，

∴∠PAB=90°，

∴AB是⊙P的切線；

②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q．

當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時，

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ．

此時點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等．

∵∠POB=90°，OA⊥PB，

∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA，

∴tan∠OBP==tan∠POA=．

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），

∴OP=6，OB=OP=8．

過點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，如圖3，

則有∠QHB=∠POB=90°，

∴QH∥PO，

∴△BHQ∽△BOP，

∴===，

∴QH=OP=3，BH=OB=4，

∴OH=8﹣4=4，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），

∴OQ==5，

∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．